Уравнение Бетчера

Уравнение Бетчера , названное в честь Люциана Бетчера , представляет собой функциональное уравнение

$F(h(z))=(F(z))^{n}$

где

• h — заданная аналитическая функция с суперпритягивающей неподвижной точкой порядка n в точке a (т. е. $h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})~,$ в окрестности ) a , при n ≥ 2
• F – искомая функция.

Логарифм этого функционального уравнения составляет уравнение Шредера .

Решение

Решением функционального уравнения является функция в неявном виде .

Люсьен Эмиль Бетчер в 1904 году набросал доказательство существования решения: аналитической функции F в окрестности фиксированной точки a , такой, что:

$F(a)=0$

Это решение иногда называют:

• координата Бетчера
• функция Бетчера
• карта Беттчера .

Полное доказательство было опубликовано Джозефом Риттом в 1920 году. кто не знал об оригинальной формулировке.

Координата Бетхера (логарифм функции Шредера ) сопрягает h(z) в окрестности неподвижной точки с функцией z ^н . Особенно важен случай, когда h(z) — многочлен степени n и a = ∞.

Явный

Можно явно вычислить координаты Бетчера для:

• карты мощности $z\to z^{d}$
• Полиномы Чебышева

Примеры

Для функции h и n=2

$h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}$

функция Бетчера F:

$F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}$

Приложения

Уравнение Бетчера играет фундаментальную роль в той части голоморфной динамики которая изучает итерацию полиномов , одной комплексной переменной .

Глобальные свойства координаты Бетчера изучал Фату. и Дуади и Хаббард .

См. также

• Уравнение Шредера
• Внешний луч