Внешний луч

— Внешний луч это кривая , идущая от бесконечности к множеству Жюлиа или Мандельброта . ^[1]Хотя эта кривая лишь в редких случаях представляет собой полупрямую (луч), ее называют лучом, потому что она представляет собой изображение луча.

Внешние лучи используются в комплексном анализе , особенно в сложной динамике и геометрической теории функций .

История

Внешние лучи были введены Дуади и Хаббардом в исследовании множества Мандельброта.

Типы

Критерии классификации:

плоскость : параметр или динамическая
карта
раздвоение динамических лучей
Растяжка
приземление ^[2]

самолет

Внешние лучи (связных) множеств Жюлиа на динамической плоскости часто называют динамическими лучами .

одномерной Внешние лучи множества Мандельброта (и подобные локусы связности ) на плоскости параметров называются параметрическими лучами .

раздвоение

Динамический луч может быть:

раздвоенный = разветвленный ^[3] = сломанный ^[4]
гладкий = неразветвленный = непрерывный

Когда заполненное множество Жюлиа связно, ветвящихся внешних лучей нет. Когда множество Жюлиа не связно, некоторые внешние лучи ветвятся. ^[5]

растягивание

Растягивающие лучи были введены Браннером и Хаббардом: ^[6]^[7]

«Представление о растягивающихся лучах является обобщением понятия о внешних лучах для полиномов множества Мандельброта до более высоких степеней». ^[8]

приземление

Каждый луч рационального параметра множества Мандельброта попадает в один параметр. ^[9]^[10]

Карты

Полиномы

Динамическая плоскость = z-плоскость

лучи связаны с компактным полным . связным подмножеством Внешние $K\,$ комплексной плоскости как:

изображения радиальных лучей под отображением Римана дополнения $K\,$
градиентные линии Грина функции $K\,$
силовые линии потенциала Дуади-Хаббарда ^[11]
интегральная кривая векторного поля градиента функции Грина в окрестности бесконечности ^[12]

Внешние лучи вместе с эквипотенциальными линиями потенциала Дуади-Хаббарда (множества уровней) образуют новую полярную систему координат внешней части ( дополнения ) $K\,$ .

Другими словами, внешние лучи определяют вертикальное слоение , ортогональное горизонтальному слоению, определяемому множествами уровней потенциала. ^[13]

Униформизация

Позволять $\Psi _{c}\,$ — конформный изоморфизм дополнения (внешнего) замкнутого единичного круга ${\overline {\mathbb {D} }}$ в дополнение к заполненному набору Юлии $\ K_{c}$ .

\Psi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}

где ${\hat {\mathbb {C} }}$ обозначает расширенную комплексную плоскость .Позволять $\Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,$ обозначим отображение Беттчера . ^[14] $\Phi _{c}\,$ является униформизирующей картой бассейна притяжения бесконечности, поскольку оно сопрягает $f_{c}$ в дополнение к наполненному комплекту Юлии $K_{c}$ к $f_{0}(z)=z^{2}$ по комплектации единичного диска:

{\begin{aligned}\Phi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}&\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\\z&\mapsto \lim _{n\to \infty }(f_{c}^{n}(z))^{2^{-n}}\end{aligned}}

и

\Phi _{c}\circ f_{c}\circ \Phi _{c}^{-1}=f_{0}

Значение $w=\Phi _{c}(z)$ называется координатой Бетчера для точки $z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}$ .

Формальное определение динамического луча

Полярная система координат и $\psi _{c}$ для $c=-2$

Внешний луч угла $\theta \,$ отмечен как ${\mathcal {R}}_{\theta }^{K}$ является:

изображение под $\Psi _{c}\,$ прямых линий ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$

{\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\Psi _{c}({\mathcal {R}}_{\theta })

набор точек внешности заполненного множества Юлиа с одинаковым внешним углом $\theta$

{\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\{z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}:\arg(\Phi _{c}(z))=\theta \}

Характеристики

Внешний луч для периодического угла $\theta \,$ удовлетворяет:

f({\mathcal {R}}_{\theta }^{K})={\mathcal {R}}_{2\theta }^{K}

и точка его приземления ^[15] $\gamma _{f}(\theta )$ удовлетворяет:

f(\gamma _{f}(\theta ))=\gamma _{f}(2\theta )

Параметр плоскости = c-плоскость

«Параметрические лучи — это просто кривые, идущие перпендикулярно эквипотенциальным кривым М-множества». ^[16]

Униформизация

Граница Мандельброта задана как изображение единичного круга под $\Psi _{M}\,$

Позволять $\Psi _{M}\,$ — отображение дополнения (внешнего) замкнутого единичного круга ${\overline {\mathbb {D} }}$ к дополнению множества Мандельброта $\ M$ . ^[17]

\Psi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to \mathbb {\hat {C}} \setminus M

и карта Бетчера (функция) $\Phi _{M}\,$ , что унифицирует отображение ^[18] дополнения множества Мандельброта, поскольку оно сопряжено с дополнением множества Мандельброта $\ M$ и дополнение (внешний вид) замкнутого единичного диска

\Phi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus M\to \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}

его можно нормализовать так:

${\frac {\Phi _{M}(c)}{c}}\to 1\ as\ c\to \infty \,$ ^[19]

где :

\mathbb {\hat {C}}

обозначает расширенную комплексную плоскость

функция Юнгрейса $\Psi _{M}\,$ является обратной униформизацией карты:

\Psi _{M}=\Phi _{M}^{-1}\,

В случае комплексного квадратичного полинома это отображение можно вычислить, используя ряды Лорана относительно бесконечности. ^[20]^[21]

c=\Psi _{M}(w)=w+\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}w^{-m}=w-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8w}}-{\frac {1}{4w^{2}}}+{\frac {15}{128w^{3}}}+...\,

где

c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M

w\in \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}

Формальное определение параметра луча

Внешний луч угла $\theta \,$ является:

изображение под $\Psi _{c}\,$ прямых линий ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$

{\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\Psi _{M}({\mathcal {R}}_{\theta })

множество точек внешности множества Мандельброта с одинаковым внешним углом $\theta$ ^[22]

{\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\{c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M:\arg(\Phi _{M}(c))=\theta \}

Определение карты Бетчера

Дуади и Хаббард определяют:

$\Phi _{M}(c)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \Phi _{c}(z=c)\,$

поэтому внешний угол точки $c\,$ плоскости параметров равна внешнему углу точки $z=c\,$ динамической плоскости

Внешний угол

собирать биты наружу
Бинарное разложение плоскости развернутого круга
бинарное разложение динамической плоскости для f(z) = z^2

Угол $θ$ называется внешним углом ( аргументом ). ^[23]

Главные значения внешних углов измеряются в витках по модулю 1.

1 оборот = 360 градусов = 2 ×

π

радиан

Сравните разные виды углов:

внешний (точка внешнего вида множества)
внутренний (точка внутри компонента)
обычный ( аргумент комплексного числа )

	внешний угол	внутренний угол	простой угол
плоскость параметров	$\arg(\Phi _{M}(c))\,$	$\arg(\rho _{n}(c))\,$	$\arg(c)\,$
динамическая плоскость	$\arg(\Phi _{c}(z))\,$		$\arg(z)\,$

Вычисление внешнего аргумента

аргумент координаты Бетчера как внешний аргумент ^[24]
- $\arg _{M}(c)=\arg(\Phi _{M}(c))$
- $\arg _{c}(z)=\arg(\Phi _{c}(z))$
последовательность замешивания как двоичное разложение внешнего аргумента ^[25]^[26]^[27]

Трансцендентальные карты

Для трансцендентных отображений (например, экспоненциальных ) бесконечность — это не неподвижная точка, а существенная особенность не существует , и изоморфизма Беттчера . ^[28]^[29]

Здесь динамический луч определяется как кривая:

соединение точки в экранирующем множестве и бесконечности ^{[ нужны разъяснения ]}
лежащий в побеге

Изображения

Динамические лучи

неразветвленный
Юлия, настроена на $f_{c}(z)=z^{2}-1$ с двумя внешними лучами, приземляющимися на отталкивающую фиксированную точку альфа
Набор Джулии и три внешних луча приземляются в фиксированной точке. $\alpha _{c}\,$
Динамические внешние лучи приземляются на период отталкивания 3 цикла и 3 внутренних луча приземляются в фиксированную точку $\alpha _{c}\,$
Набор Джулии с внешними лучами, приземлившимися на орбиту третьего периода
Лучи приземляются на параболическую фиксированную точку для периодов 2–40.

разветвленный
Разветвленный динамический луч

Параметр лучей

Множество Мандельброта для комплексного квадратичного многочлена с параметрическими лучами корневых точек

Внешние лучи для углов вида : n / ( 2 ¹ - 1) (0/1; 1/1) приземление на точку с= 1/4, которая является острием главной кардиоиды (компонента периода 1)
Внешние лучи для углов вида : n / ( 2 ² - 1) (1/3, 2/3) приземляется на точку c= - 3/4, которая является корневой точкой компонента периода 2
Внешние лучи для углов вида : n / ( 2 ³ - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) приземление на точку c= -1,75 = -7/4 (5/7,6/7) приземление на корневые точки периода 3 компонента.
Внешние лучи для углов формы: n / ( 2 ⁴ - 1) (1/15,2/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) приземление на корневую точку c= -5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) приземляются на корневые точки компонентов 4-го периода.
Внешние лучи для углов формы: n / ( 2 ⁵ - 1) посадка на корневые точки компонентов периода 5

внутренний луч главной кардиоиды угла 1/3: начинается от центра главной кардиоиды c=0, заканчивается в корневой точке компонента периода 3, которая является точкой приземления параметрических (внешних) лучей углов 1/7 и 2/ 7
Внутренний луч для угла 1/3 главной кардиоиды, построенный по конформной карте единичной окружности

Мини-множество Мандельброта с периодом 134 и двумя внешними лучами.
Просыпается возле острова периода 3
Просыпается по основной антенне

Пространство параметров семейства комплексных экспонент f(z)=exp(z)+c . Восемь лучей параметра, попадающих в этот параметр, нарисованы черным цветом.

Программы, умеющие рисовать внешние лучи

Мандель — программа Вольфа Юнга, написанная на C++ с использованием Qt , исходный код доступен под лицензией GNU General Public License.
- Java-апплеты Евгения Демидова (код функции mndlbrot::turn Вольфа Юнга перенесен на Java) со свободным исходным кодом
- ezfract Майкла Сарджента , использует код Вольфа Юнга
OTIS от Томоки КАВАХИРА — Java-апплет без исходного кода
Программа Spider XView от Юваля Фишера
YABMP профессора Евгения Заустинского. Архивировано 15 июня 2006 г. на Wayback Machine для DOS без исходного кода.
DH_Drawer. Архивировано 21 октября 2008 г. на Wayback Machine Арно Шерита, написано для Windows 95 без исходного кода.
Программы Linas Vepstas C для Linux консоли с исходным кодом
Программа Джулия Кертиса Т. Макмаллена, написанная на C и командах Linux для оболочки C, консоли с исходным кодом
Программа mjwinq от Матьяза Эрата, написанная на Delphi/Windows без исходного кода (для внешних лучей она использует методы из quad.c в julia.tar Кертиса Т. Макмаллена)
RatioField от Герта Бушмана , для окон с исходным кодом Pascal для Dev-Pascal 1.9.2 (с Free Pascal ) компилятором
Программа Мандельброта Милана Ва, написанная на Delphi с исходным кодом.
Power MANDELZOOM Роберта Мунафо
ерш от Клода Хейланд-Аллена

См. также

Ссылки

^ Дж. Киви: Рациональные лучи и критические портреты комплексных многочленов. Докторская диссертация SUNY в Стоуни-Брук (1997); Препринт ИМС № 1997/15. Архивировано 5 ноября 2004 г. в Wayback Machine.
^ Ино, Хироюки; Мукерджи, Сабьясачи (2016). «Неприземляющиеся параметрические лучи мультикорнов» изобретения Математические 204 (3): 869–893. arXiv : 1406.3428 . Бибкод : 2016InMat.204..869I . дои : 10.1007/ s00222-015-0627-3 S2CID 253746781 .
^ Атела, Пау (1992). «Бифуркации динамических лучей в комплексных многочленах второй степени». Эргодическая теория и динамические системы . 12 (3): 401–423. дои : 10.1017/S0143385700006854 . S2CID 123478692 .
^ Петерсен, Карстен Л.; Закери, Саид (2020). «Периодические точки и гладкие лучи». arXiv : 2009.02788 [ math.DS ].
^ Голоморфная динамика: о накоплении растягивающихся лучей Пиа Б. Н. Виллумсен, см. стр. 12.
^ Итерация кубических полиномов. Часть I: Глобальная топология параметра БОДИЛА БРАННЕРА и ДЖОНА Х. ХАББАРДА.
^ Растягивающие лучи для кубических многочленов Паскаля Роша
^ Комори, Ёхей; Накане, Шизуо (2004). «Свойство посадки лучей растяжения для действительных кубических многочленов» (PDF) . Конформная геометрия и динамика . 8 (4): 87–114. Бибкод : 2004CGDAM...8...87K . дои : 10.1090/s1088-4173-04-00102-x .
^ А. Дуади, Дж. Хаббард: Динамическое исследование комплексных полиномов. Публикации Mathematiques d’Orsay 84-02 (1984) (первая часть) и 85-04 (1985) (вторая часть).
^ Шлейхер, Дирк (1997). «Рациональные параметрические лучи множества Мандельброта». arXiv : математика/9711213 .
^ Видео: Красота и сложность набора Мандельброта Джона Хаббарда (см. часть 3)
^ Юньпин Цзин: Локальная связность множества Мандельброта в некоторых бесконечно перенормируемых точках. Комплексная динамика и смежные темы, Новые исследования в области высшей математики, 2004, The International Press, 236-264.
^ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ БАССЕЙНЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ ЛАУРА ДЕМАРКО И КЕВИН М. ПИЛИГРИМ
^ Как нарисовать внешние лучи Вольфа Юнга.
^ Тесселяция и расслоения Любича-Минского, связанные с квадратичными картами I: Сжимающие полусопряжения Томоки Кавахира. Архивировано 3 марта 2016 г. в Wayback Machine.
^ Параметрические лучи Дуади Хаббарда, автор Линас Вепстас
^ Джон Х. Юинг, Гленн Шобер, Область множества Мандельброта
^ Ирвин Юнграйс: Униформизация дополнения множества Мандельброта. Герцог Мат. J. Том 52, номер 4 (1985), 935–938.
^ Адриен Дуади, Джон Хаббард, Динамические исследования комплексов полиномов I и II, Publ. Математика. Орсе. (1984-85) (Заметки Орсе)
^ Билефельд, Б.; Фишер, Ю.; Фонхазелер, Ф. (1993). «Вычисление ряда Лорана отображения Ψ: C − D → C — M» . Достижения прикладной математики . 14 : 25–38. дои : 10.1006/aama.1993.1002 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Набор Мандельброта». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram
^ Алгоритм рисования внешних лучей множества Мандельброта Томоки Кавахиры.
^ http://www.mrob.com/pub/muency/externalangle.html Внешний угол в Mu-ENCY (Энциклопедия набора Мандельброта) Роберта Мунафо
^ Вычисление внешнего аргумента Вольфом Юнгом
^ А. ДУАДИ, Алгоритмы вычисления углов в множестве Мандельброта (Хаотическая динамика и фракталы, изд. Барнсли и Демко, Acad. Press, 1986, стр. 155-168).
^ Адриен Дуади, Джон Х. Хаббард: Исследование множества Мандельброта. Записки Орсе. стр. 58
^ Взрыв темного сердца хаоса Криса Кинга с математического факультета Оклендского университета.
^ Топологическая динамика целых функций Хелены Михалевич-Брандт
^ Динамические лучи целых функций и их поведение при приземлении, Хелена Михалевич-Брандт.

Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Комплексная динамика , Springer, 1993.
Адриен Дуади и Джон Х. Хаббард, Динамическое исследование комплексных полиномов , Математические предварительные публикации Орсе 2/4 (1984/1985)
Джон В. Милнор, Периодические орбиты, внешние лучи и множество Мандельброта: пояснительный отчет ; Géométrie complexe et systèmes dynamices (Орсе, 1995), Asterisque № 261 (2000), 277–333. (Впервые появилось как препринт Stony Brook IMS в 1999 году, доступно как arXiV:math.DS/9905169 .)
Джон Милнор , Динамика в одной комплексной переменной , третье издание, Princeton University Press, 2006, ISBN 0-691-12488-4
Вольф Юнг: Гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта. доктор философии дипломная работа 2002 г.

Внешние ссылки

[1] Дж. Киви: Рациональные лучи и критические портреты комплексных многочленов. Докторская диссертация SUNY в Стоуни-Брук (1997); Препринт ИМС № 1997/15. Архивировано 5 ноября 2004 г. в Wayback Machine.

[2] Ино, Хироюки; Мукерджи, Сабьясачи (2016). «Неприземляющиеся параметрические лучи мультикорнов» изобретения Математические 204 (3): 869–893. arXiv : 1406.3428 . Бибкод : 2016InMat.204..869I . дои : 10.1007/ s00222-015-0627-3 S2CID 253746781 .

[3] Атела, Пау (1992). «Бифуркации динамических лучей в комплексных многочленах второй степени». Эргодическая теория и динамические системы . 12 (3): 401–423. дои : 10.1017/S0143385700006854 . S2CID 123478692 .

[4] Петерсен, Карстен Л.; Закери, Саид (2020). «Периодические точки и гладкие лучи». arXiv : 2009.02788 [ math.DS ].

[5] Голоморфная динамика: о накоплении растягивающихся лучей Пиа Б. Н. Виллумсен, см. стр. 12.

[6] Итерация кубических полиномов. Часть I: Глобальная топология параметра БОДИЛА БРАННЕРА и ДЖОНА Х. ХАББАРДА.

[7] Растягивающие лучи для кубических многочленов Паскаля Роша

[8] Комори, Ёхей; Накане, Шизуо (2004). «Свойство посадки лучей растяжения для действительных кубических многочленов» (PDF) . Конформная геометрия и динамика . 8 (4): 87–114. Бибкод : 2004CGDAM...8...87K . дои : 10.1090/s1088-4173-04-00102-x .

[9] А. Дуади, Дж. Хаббард: Динамическое исследование комплексных полиномов. Публикации Mathematiques d’Orsay 84-02 (1984) (первая часть) и 85-04 (1985) (вторая часть).

[10] Шлейхер, Дирк (1997). «Рациональные параметрические лучи множества Мандельброта». arXiv : математика/9711213 .

[11] Видео: Красота и сложность набора Мандельброта Джона Хаббарда (см. часть 3)

[12] Юньпин Цзин: Локальная связность множества Мандельброта в некоторых бесконечно перенормируемых точках. Комплексная динамика и смежные темы, Новые исследования в области высшей математики, 2004, The International Press, 236-264.

[13] ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ БАССЕЙНЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ ЛАУРА ДЕМАРКО И КЕВИН М. ПИЛИГРИМ

[14] Как нарисовать внешние лучи Вольфа Юнга.

[15] Тесселяция и расслоения Любича-Минского, связанные с квадратичными картами I: Сжимающие полусопряжения Томоки Кавахира. Архивировано 3 марта 2016 г. в Wayback Machine.

[16] Параметрические лучи Дуади Хаббарда, автор Линас Вепстас

[17] Джон Х. Юинг, Гленн Шобер, Область множества Мандельброта

[18] Ирвин Юнграйс: Униформизация дополнения множества Мандельброта. Герцог Мат. J. Том 52, номер 4 (1985), 935–938.

[19] Адриен Дуади, Джон Хаббард, Динамические исследования комплексов полиномов I и II, Publ. Математика. Орсе. (1984-85) (Заметки Орсе)

[20] Билефельд, Б.; Фишер, Ю.; Фонхазелер, Ф. (1993). «Вычисление ряда Лорана отображения Ψ: C − D → C — M» . Достижения прикладной математики . 14 : 25–38. дои : 10.1006/aama.1993.1002 .

[21] Вайсштейн, Эрик В. «Набор Мандельброта». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram

[22] Алгоритм рисования внешних лучей множества Мандельброта Томоки Кавахиры.

[23] ttp://www.mrob.com/pub/muency/externalangle.html Внешний угол в Mu-ENCY (Энциклопедия набора Мандельброта) Роберта Мунафо

[24] Вычисление внешнего аргумента Вольфом Юнгом

[25] А. ДУАДИ, Алгоритмы вычисления углов в множестве Мандельброта (Хаотическая динамика и фракталы, изд. Барнсли и Демко, Acad. Press, 1986, стр. 155-168).

[26] Адриен Дуади, Джон Х. Хаббард: Исследование множества Мандельброта. Записки Орсе. стр. 58

[27] Взрыв темного сердца хаоса Криса Кинга с математического факультета Оклендского университета.

[28] Топологическая динамика целых функций Хелены Михалевич-Брандт

[29] Динамические лучи целых функций и их поведение при приземлении, Хелена Михалевич-Брандт.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]