Орбитальный портрет

В математике портрет орбиты — это комбинаторный инструмент, используемый в сложной динамике для понимания поведения одномерных квадратичных карт .

Простыми словами можно сказать, что это:

• список внешних углов, под которыми лучи падают на точки этой орбиты
• график, показывающий список выше

Определение

Учитывая квадратичное отображение

$f_{c}:z\mapsto z^{2}+c.$

из комплексной плоскости в себя

$f_{c}:\mathbb {\mathbb {C} } \to \mathbb {\mathbb {C} }$

и отталкивающая или параболическая периодическая орбита ${\mathcal {O}}=\{z_{1},\ldots z_{n}\}$ из $f$, так что $f(z_{j})=z_{j+1}$ (где индексы берутся 1 + по модулю $n$), позволять $A_{j}$ - набор углов , соответствующие внешние лучи которых приходятся на $z_{j}$.

Тогда набор ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ называется орбитальным портретом периодической орбиты ${\mathcal {O}}$.

Все наборы $A_{j}$ должно иметь одинаковое количество элементов, что называется валентностью портрета.

Примеры

Набор Джулии с внешними лучами, приземлившимися на орбиту периода 3

Набор Джулии с параболической орбитой второго периода. Соответствующий портрет орбиты имеет характеристическую дугу I = (22/63, 25/63) и валентность v = 3 луча на точку орбиты.

орбиты

валентность 2

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)\right\rbrace$

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {3}{7}},{\frac {4}{7}}\right),\left({\frac {6}{7}},{\frac {1}{7}}\right),\left({\frac {5}{7}},{\frac {2}{7}}\right)\right\rbrace$

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {4}{9}},{\frac {5}{9}}\right),\left({\frac {8}{9}},{\frac {1}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {2}{9}}\right)\right\rbrace$

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {11}{31}},{\frac {12}{31}}\right),\left({\frac {22}{31}},{\frac {24}{31}}\right),\left({\frac {13}{31}},{\frac {17}{31}}\right),\left({\frac {26}{31}},{\frac {3}{31}}\right),\left({\frac {21}{31}},{\frac {6}{31}}\right)\right\rbrace$

валентность 3

Валентность равна 3, поэтому лучи попадают в каждую точку орбиты.

3 внешних луча цикла 3 периода: ${\mathcal {R}}_{\frac {1}{7}},{\mathcal {R}}_{\frac {2}{7}},{\mathcal {R}}_{\frac {4}{7}}\,$, которые приземляются в фиксированную точку $z=\alpha _{c}\,$

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{7}}\right)\right\rbrace$

Для комплексного квадратичного полинома с c = -0,03111+0,79111*i портрет параболической орбиты периода 3 равен:

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {74}{511}},{\frac {81}{511}},{\frac {137}{511}}\right),\left({\frac {148}{511}},{\frac {162}{511}},{\frac {274}{511}}\right),\left({\frac {296}{511}},{\frac {324}{511}},{\frac {37}{511}}\right)\right\rbrace$

Лучи для вышеуказанных углов попадают в точки этой орбиты. Параметр c является центром гиперболической компоненты периода 9 множества Мандельброта.

Для параболического Джулиа установите c = -1,125 + 0,21650635094611*i. Это корневая точка между компонентами периода 2 и периода 6 множества Мандельброта. Орбитальный портрет орбиты периода 2 с валентностью 3:

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {22}{63}},{\frac {25}{63}},{\frac {37}{63}}\right),\left({\frac {11}{63}},{\frac {44}{63}},{\frac {50}{63}}\right)\right\rbrace$

валентность 4

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{15}},{\frac {2}{15}},{\frac {4}{15}},{\frac {8}{15}}\right)\right\rbrace$

орбитальные

Каждый орбитальный портрет ${\mathcal {P}}$ имеет следующие свойства:

• Каждый $A_{j}$ является конечным подмножеством ${\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }$
• Отображение удвоения на окружности дает биекцию из $A_{j}$ к $A_{j+1}$ и сохраняет циклический порядок углов.
• Все ракурсы во всех наборах $A_{1},\ldots ,A_{n}$ являются периодическими относительно карты удвоения круга, и все углы имеют одинаковый точный период. Этот период должен быть кратен $n$, поэтому период имеет вид $rn$, где $r$ называется периодом возвратных лучей.
• Наборы $A_{j}$ попарно несвязаны, то есть для любой их пары существуют два непересекающихся интервала ${\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }$ где каждый интервал содержит одно из множеств.

Любая коллекция $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}$ подмножеств круга, удовлетворяющих этим четырем свойствам, указанным выше, называется формальным портретом орбиты . Это теорема Джона Милнора , согласно которой каждый формальный портрет орбиты реализуется действительным портретом орбиты периодической орбиты некоторого квадратичного однокомплексномерного отображения. Портреты орбит содержат динамическую информацию о том, как внешние лучи и точки их приземления отображаются на плоскости, но формальные портреты орбит представляют собой не более чем комбинаторные объекты. Теорема Милнора утверждает, что на самом деле между ними нет различия.

орбитальные

Орбитальный портрет, где все декорации $A_{j}$ имеют только один элемент, называются тривиальными, за исключением портрета орбиты ${0}$. Альтернативное определение состоит в том, что портрет орбиты нетривиален, если он максимален, что в данном случае означает, что не существует портрета орбиты, который строго его содержит (т. е. не существует портрета орбиты $\{A_{1}^{\prime },\ldots ,A_{n}^{\prime }\}$ такой, что $A_{j}\subsetneq A_{j}^{\prime }$). Легко видеть, что каждый тривиальный формальный портрет орбиты реализуется как портрет орбиты некоторой орбиты отображения. $f_{0}(z)=z^{2}$, поскольку каждый внешний луч этой карты приземляется, и все они приземляются в разных точках множества Джулии . Тривиальные портреты орбит в некотором отношении патологичны, и в дальнейшем мы будем говорить только о нетривиальных портретах орбит.

Дуги

Портрет на орбите $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}$, каждый $A_{j}$ является конечным подмножеством окружности $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$, поэтому каждый $A_{j}$ делит окружность на несколько непересекающихся интервалов, называемых дополнительными дугами, базирующимися в точке $z_{j}$. Длина каждого интервала называется его угловой шириной. Каждый $z_{j}$ имеет уникальную самую большую дугу, основанную на ней, которая называется критической дугой. Критическая дуга всегда имеет длину больше, чем ${\frac {1}{2}}$

Эти дуги обладают тем свойством, что каждая дуга, основанная на $z_{j}$, за исключением критической дуги, диффеоморфно отображается в дугу, основанную на $z_{j+1}$, а критическая дуга охватывает каждую дугу, основанную на $z_{j+1}$ один раз, за ​​исключением одной дуги, которую он охватывает дважды. Дуга, которую он охватывает дважды, называется дугой критического значения для $z_{j+1}$. Это не обязательно отличается от критической дуги.

Когда $c$ уходит в бесконечность при повторении $f_{c}$, или когда $c$ находится в наборе Джулии, то $c$ имеет четко выраженный внешний угол. Назовите этот угол $\theta _{c}$. $\theta _{c}$ находится в каждой дуге критического значения. Кроме того, два прообраза $c$ под картой удвоения ( ${\frac {\theta _{c}}{2}}$ и ${\frac {\theta _{c}+1}{2}}$) оба находятся в каждой критической дуге.

Среди всех критических дуг ценности для всех $A_{j}$существует уникальная дуга наименьшего критического значения ${\mathcal {I}}_{\mathcal {P}}$, называемая характеристической дугой , которая строго содержится внутри любой другой дуги критического значения. Характеристическая дуга является полным инвариантом портрета орбиты в том смысле, что два портрета орбиты идентичны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую характеристическую дугу.

Секторы

Подобно тому, как лучи, попадающие на орбиту, делят круг, они делят и комплексную плоскость. Для каждой точки $z_{j}$ орбиты, внешние лучи приземляются на $z_{j}$ разделить плоскость на $v$ открытые множества, называемые секторами, основанные на $z_{j}$. Секторы естественным образом идентифицируются как дополнительные дуги, основанные в одной и той же точке. Угловая ширина сектора определяется как длина соответствующей ему дополнительной дуги. Секторы называются критическими секторами или секторами критического значения , когда соответствующие дуги являются соответственно критическими дугами и дугами критического значения.

Секторы также обладают интересным свойством: $0$ находится в критическом секторе каждой точки, и $c$, критическое значение $f_{c}$, находится в секторе критического значения.

Параметр пробуждения

Два параметрических луча с углами $t_{-}$ и $t_{+}$ приземлиться в одной и той же точке множества Мандельброта в пространстве параметров тогда и только тогда, когда существует портрет орбиты ${\mathcal {P}}$ с интервалом $[t_{-},t_{+}]$ как его характерная дуга. Для любого орбитального портрета ${\mathcal {P}}$ позволять $r_{\mathcal {P}}$ быть общей точкой приземления двух внешних углов в пространстве параметров, соответствующей характеристической дуге ${\mathcal {P}}$. Эти два луча параметров вместе с их общей точкой приземления разделяют пространство параметров на два открытых компонента. Пусть компонента, не содержащая точки $0$ называться ${\mathcal {P}}$-wake и обозначается как ${\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}$. Квадратичный полином $f_{c}(z)=z^{2}+c$ реализует орбитальный портрет ${\mathcal {P}}$ с отталкивающейся орбитой именно тогда, когда $c\in {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}$. ${\mathcal {P}}$ реализуется с параболической орбитой только для одного значения $c=r_{\mathcal {P}}$около

орбитальные

Помимо нулевого портрета, существует два типа портретов орбиты: примитивный и спутниковый. Если $v$ валентность орбитального портрета ${\mathcal {P}}$ и $r$ – период возвратных лучей, то эти два типа можно охарактеризовать следующим образом:

• Примитивные орбитальные портреты имеют $r=1$ и $v=2$. Каждый луч на портрете отображается сам на себя $f^{n}$. Каждый $A_{j}$ представляет собой пару углов, каждый из которых находится на отдельной орбите отображения удвоения. В этом случае, $r_{\mathcal {P}}$ является базовой точкой детского множества Мандельброта в пространстве параметров.
• Портреты спутниковой орбиты $r=v\geq 2$. В этом случае все углы составляют одну орбиту при карте удвоения. Кроме того, $r_{\mathcal {P}}$ является базовой точкой параболической бифуркации в пространстве параметров.

Обобщения

Портреты орбит оказываются полезными комбинаторными объектами при изучении связи динамики с пространствами параметров и других семейств отображений. В частности, они использовались для изучения закономерностей всех периодических динамических лучей, попадающих на периодический цикл некритического антиголоморфного полинома.

См. также

• Ламинирование