Основная ценность

В математике , особенно в комплексном анализе , главными значениями многозначной функции являются значения вдоль одной выбранной ветви этой функции , так что она является однозначной . Простой случай возникает при извлечении квадратного корня из положительного действительного числа . Например, число 4 имеет два квадратных корня: 2 и −2; из них положительный корень 2 считается главным корнем и обозначается как ${\sqrt {4}}.$

Мотивация [ править ]

Рассмотрим комплексного логарифма функцию $log z$ . Оно определяется как комплексное число $w$ такое, что

e^{w}=z.

Теперь, например, предположим, что мы хотим найти $log i$ . Это означает, что мы хотим решить

e^{w}=i

для $w$ . Значение $i\pi /2$ это решение.

Однако существуют и другие решения, о чем свидетельствует рассмотрение положения $i$ в комплексной плоскости и, в частности, ее аргумента. $\arg i$ . Мы можем вращаться против часовой стрелки $\pi /2$ радиан от 1 до достижения $i$ изначально, но если мы повернём дальше, то ещё $2\pi$ мы снова достигаем $меня$ . Итак, мы можем сделать вывод, что $i(\pi /2+2\pi )$ является также решением для $log i$ . Становится ясно, что мы можем добавить любое кратное $2\pi$ к нашему первоначальному решению, чтобы получить все значения для $log i$ .

Но это имеет следствие, которое может быть неожиданным при сравнении вещественнозначных функций: $log i$ не имеет одного определенного значения. Для $log z$ мы имеем

\log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z+2\pi k\right)

для целого числа $k$ , где $Arg z$ — (главный) аргумент $z$ , определенный как лежащий в интервале $(-\pi ,\ \pi ]$ . Каждое значение $k$ определяет так называемую ветвь (или лист ), однозначный компонент многозначной логарифмической функции. Когда основное внимание уделяется одной ветке, иногда обрезка ветки используется ; в этом случае удаление неположительных действительных чисел из области определения функции и исключение $\pi$ как возможное значение $Arg z$ . При таком разрезе ветвления одноветвевая функция непрерывна и аналитична всюду в своей области определения.

Ветвь, соответствующая $k = 0,$ называется главной ветвью , и вдоль этой ветви значения, которые принимает функция, называются главными значениями .

Общий случай [ править ]

В общем, если $f (z)$ многозначно, главная ветвь $f$ обозначается

\mathrm {pv} \,f(z)

такой, что для $в$ области f pv $z$ является $f (z) однозначным$ .

Основные значения стандартных функций [ править ]

Комплекснозначные элементарные функции могут быть многозначными в некоторых областях. Главное значение некоторых из этих функций можно получить путем разложения функции на более простые, при этом главное значение простых функций получить несложно.

Функция логарифма [ править ]

Выше мы рассмотрели функцию логарифма , т.е.

\log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right).

Теперь $arg z$ по своей сути многозначен. Часто определяют аргумент некоторого комплексного числа как находящийся между $-\pi$ (эксклюзивный) и $\pi$ (включительно), поэтому мы принимаем это за главное значение аргумента и пишем функцию аргумента на этой ветви $Arg z$ (с заглавной буквой A). Используя $Arg z$ вместо $arg z$ , мы получаем главное значение логарифма и пишем ^[1]

\mathrm {pv} \log {z}=\mathrm {Log} \,z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \,z\right).

Квадратный корень [ править ]

Для комплексного числа $z=re^{i\phi }\,$ главное значение квадратного корня :

\mathrm {pv} {\sqrt {z}}=\exp \left({\frac {\mathrm {pv} \log z}{2}}\right)={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}

с аргументом $-\pi <\phi \leq \pi .$ Иногда разрез ветки вводится для того, чтобы отрицательные действительные числа не находились в области определения функции квадратного корня, и исключая возможность того, что $\phi =\pi .$

тригонометрические и обратные функции Обратные гиперболические

Обратные тригонометрические функции ( $arcsin$ , $arccos$ , $arctan$ и т. д.) и обратные гиперболические функции ( $arsinh$ , $arcosh$ , $artanh$ и т. д.) могут быть определены в терминах логарифмов, а их главные значения могут быть определены в терминах главных значений логарифма. .

Сложный аргумент [ править ]

Основное значение аргумента комплексного числа , измеряемое в радианах, можно определить как:

значения в диапазоне $[0,2\pi )$
значения в диапазоне $(-\pi ,\pi ]$

Например, многие вычислительные системы включают $функцию atan2(y, x)$ . Значение $atan2(imaginary_part(z), real_part(z))$ будет находиться в интервале $(-\pi ,\pi ].$ Для сравнения, $atan y / x$ обычно находится в $({\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}].$

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Зилл, Деннис; Шанахан, Патрик (2009). Первый курс комплексного анализа с приложениями . Джонс и Бартлетт Обучение. п. 166. ИСБН 978-0-7637-5772-4 .

[1] Зилл, Деннис; Шанахан, Патрик (2009). Первый курс комплексного анализа с приложениями . Джонс и Бартлетт Обучение. п. 166. ИСБН 978-0-7637-5772-4 .

[1]