Основной филиал

В математике главная ветвь — это функция, которая выбирает одну ветвь («срез») многозначной функции . Чаще всего это относится к функциям, определенным на комплексной плоскости .

Примеры

Тригонометрические обратные

Основные ветви используются при определении многих обратных тригонометрических функций , таких как выбор либо для определения того, что

\arcsin :[-1,+1]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

или что

\arccos :[-1,+1]\rightarrow [0,\pi ]

.

Возведение в степень до дробных степеней

Более знакомая главная функция ветвления, ограниченная действительными числами, — это функция положительного действительного числа, возведенная в степень $1/2$ .

Например, возьмем соотношение $y = x 1/2$ , где $x$ — любое положительное действительное число.

Этому соотношению может удовлетворять любое значение $y$ , равное квадратному корню из $x$ (положительное или отрицательное). По соглашению, √ x используется для обозначения положительного квадратного корня из $x$ .

В этом случае функция положительного квадратного корня принимается в качестве главной ветви многозначного отношения $x 1/2$ .

Комплексные логарифмы

Один из способов рассмотреть главную ветвь – это рассмотреть показательную функцию и логарифм , как он определяется в комплексном анализе .

Показательная функция однозначна, где $e С$ определяется как:

e^{z}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b

где $z=a+ib$ .

Однако периодическая природа задействованных тригонометрических функций ясно показывает, что логарифм не определяется однозначно. Один из способов убедиться в этом — посмотреть на следующее:

\operatorname {Re} (\log z)=\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

и

\operatorname {Im} (\log z)=\operatorname {atan2} (b,a)+2\pi k

где $k$ — любое целое число, а $atan2$ продолжает значения $функции arctan(b/a)$ из диапазона их главных значений. $(-\pi /2,\;\pi /2]$ , соответствующий $a>0$ в область главных значений $arg(z)$ -функции $(-\pi ,\;\pi ]$ , охватывающий все четыре квадранта комплексной плоскости.

Любое число $log z,$ определенное такими критериями, обладает свойством $e войти z = з$ .

Таким образом, функция журнала является многозначной функцией (часто называемой «многофункциональной» в контексте комплексного анализа). Разрез ветки, обычно вдоль отрицательной действительной оси, может ограничить мнимую часть, так что она лежит между $-π$ и $π$ . Это избранные основные ценности .

Это основная ветвь функции журнала. Часто его определяют с помощью заглавной буквы $Log z$ .

См. также

Внешние ссылки