Побег набор

В математике и особенно в сложной динамике целой ускользающее множество ƒ функции состоит из всех точек, которые стремятся к бесконечности при многократном применении ƒ. То есть комплексное число $z_{0}\in \mathbb {C}$ принадлежит экранирующему множеству тогда и только тогда, когда последовательность, определенная формулой $z_{n+1}:=f(z_{n})$ сходится к бесконечности, так как $n$ становится большим. Убегающее множество $f$ обозначается $I(f)$.

Например, для $f(z)=e^{z}$, начало координат принадлежит экранирующему множеству, поскольку последовательность

$0,1,e,e^{e},e^{e^{e}},\dots$

стремится к бесконечности.

История

Итерация целых трансцендентных функций была впервые изучена Пьером Фату в 1926 году. Экранирующее множество неявно встречается в его исследовании явных целых функций. $f(z)=z+1+\exp(-z)$ и $f(z)=c\sin(z)$.

Нерешенная задача по математике :

Может ли убегающее множество трансцендентной целой функции иметь ограниченную компоненту?

(еще нерешенные задачи по математике)

Первое исследование убегающего множества для общей трансцендентной целой функции принадлежит Александру Еременко, который использовал теорию Вимана-Валирона . Он предположил, что каждая связная компонента ускользающего множества трансцендентной целой функции неограничена. Об этом стало известнокак гипотеза Ерёменко . Есть много частичных результатовпо этой проблеме, но по состоянию на 2013 год эта гипотеза все еще остается открытой.

Еременко также спросил, может ли каждая ускользающая точка быть соединена с бесконечностью кривой в ускользающем множестве; позже было показано, что это не так. Действительно,существуют целые функции, экранирующие множества которых вообще не содержат кривых.

Характеристики

Известно, что следующие свойства присущи экранирующему множеству любой непостоянной и нелинейной целой функции. (Здесь нелинейный означает, что функция не имеет вида $f(z)=az+b$.)

• Экранирующее множество содержит хотя бы одну точку.
• Границей множество ускользающего множества является в точности Жюлиа . В частности, экранирующее множество никогда не закрывается .
• Для трансцендентной целой функции выходящее множество всегда пересекает множество Жюлиа. В частности, экранирующее множество открыто тогда и только тогда, когда $f$ является полиномом.
• Каждая компонента связности замыкания ускользающего множества неограничена.
• Экранирующее множество всегда имеет хотя бы одну неограниченную компоненту связности.
• Экранирующее множество связно или имеет бесконечно много компонентов.
• Набор $I(f)\cup \{\infty \}$ подключен.

Обратите внимание, что последнее утверждение не подразумевает гипотезу Ерёменко. (Действительно, существуют связные пространства, в которых удаление одной точки дисперсии оставляет оставшееся пространство полностью несвязным.)

Примеры

Полиномы

Полином сверхпритягивающую степени 2 продолжается до аналитического самоотображения сферы Римана , имеющего неподвижную точку на бесконечности. Ускользающее множество — это и есть бассейн притяжения этой фиксированной точки, поэтому его обычно называют «бассейном бесконечности». В этом случае, $I(f)$ — открытое и связное подмножество комплексной плоскости, а множество Жюлиа — границей этого бассейна.

Например, экранирующее множество комплексного квадратичного многочлена $f(z)=z^{2}$ состоит именно из дополнения к замкнутому единичному диску:

$I(f)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|>1\}.$

Трансцендентные целые функции

Выход из набора $(\exp(z)-1)/2$.

У трансцендентных целых функций выходящее множество гораздо сложнее, чем у многочленов: в простейших случаях, подобных показанному на картинке, оно состоит из бесчисленного множества кривых, называемых волосками или лучами . В других примерах структура экранирующего множества может быть совсем другой (паутина ) . Как упоминалось выше, существуют примеры трансцендентных целых функций, выходящее множество которых не содержит кривых.

По определению, экранирующее множество представляет собой $F_{\sigma \delta }{\text{ set}}$. Это ни $G_{\delta }$ ни $F_{\sigma }$. Для функций экспоненциального класса $\exp(z)+a$, экранирующий набор не $G_{\delta \sigma }$.

См. также

• Алгоритмы построения графика множества Мандельброта § Алгоритм времени выхода
• целевой набор

Внешние ссылки

• Лассе Ремпе . «Стихотворение о догадке Ерёменко» .