Теорема Каратеодори (конформное отображение)

В математике — теорема Каратеодори это теорема комплексного анализа , названная в честь Константина Каратеодори , которая расширяет теорему Римана об отображении . Теорема, опубликованная Каратеодори в 1913 году, утверждает, что любое конформное отображение, переводящее единичный круг в некоторую область комплексной плоскости , ограниченную жордановой кривой, непрерывно продолжается до гомеоморфизма единичного круга на жордановую кривую. Результатом является один из результатов Каратеодори о простых концах и граничном поведении однолистных голоморфных функций.

Доказательства теоремы Каратеодори.

Первое доказательство теоремы Каратеодори, представленное здесь, представляет собой краткое изложение краткого самостоятельного отчета в Garnett & Marshall (2005 , стр. 14–15); аналогичные доказательства есть у Поммеренке (1992) и Кранца (2006) .

Теорема Каратеодори. Если f отображает открытый единичный круг D конформно на ограниченную область U в C , то f имеет непрерывное взаимно однозначное расширение до замкнутого единичного круга тогда и только тогда, когда ∂U является жордановой кривой.

Ясно, что если f допускает расширение до гомеоморфизма, то ∂U должна быть жордановой кривой.

И наоборот, если ∂U — жорданова кривая, первым шагом будет доказательство непрерывности f до замыкания D . Фактически это будет справедливо тогда и только тогда, когда f равномерно непрерывна на D : это верно, если она имеет непрерывное расширение до замыкания D ; и, если f равномерно непрерывна, легко проверить, что f имеет пределы на единичной окружности, и те же неравенства для равномерной непрерывности справедливы и на замыкании D .

Предположим, что f не является равномерно непрерывным. В этом случае должны существовать ε > 0 и точка ζ на единичной окружности и последовательности z _n , w _n, стремящиеся к ζ с | ж ( z _п ) - ж ( ш _п )| ≥ 2 ε . Ниже показано, что это приводит к противоречию, так что f должна быть равномерно непрерывной и, следовательно, иметь непрерывное расширение до замыкания D .

Для 0 < r < 1 пусть γ _r — кривая, заданная дугой окружности | г - ζ | = r лежит внутри D . Тогда f ∘ γ _r — жордановая кривая. Его длину можно оценить с помощью неравенства Коши – Шварца :

$\displaystyle {\ell (f\circ \gamma _{r})=\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|\,|dz|\leq \left(\int _{\gamma _{r}}\,|dz|\right)^{1/2}\cdot \left(\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|^{2}\,|dz|\right)^{1/2}\leq (2\pi r)^{1/2}\cdot \left(\int _{\{\theta :|\zeta +re^{i\theta }|<1\}}|f^{\prime }(\zeta +re^{i\theta })|^{2}\,r\,d\theta \right)^{1/2}.}$

Следовательно, существует «оценка длины-площади»:

$\displaystyle {\int _{0}^{1}\ell (f\circ \gamma _{r})^{2}\,{dr \over r}\leq 2\pi \int _{|z|<1}|f^{\prime }(z)|^{2}\,dx\,dy=2\pi \cdot {\rm {Area}}\,f(D)<\infty .}$

Из конечности интеграла в левой части следует, что существует последовательность r _n, убывающая до 0 с $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ стремящаяся к 0. Но длина кривой g ( t ) для t в ( a , b ) определяется выражением

$\displaystyle {\ell (g)=\sup _{a<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{k}<b}\sum _{i=1}^{k-1}|g(t_{i+1})-g(t_{i})|.}$

Конечность $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ подразумевается, что кривая имеет предельные точки a _n , bn _{следовательно ,} на двух концах с $|a_{n}-b_{n}|\leq \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$, поэтому это расстояние, а также диаметр кривой стремятся к 0. Эти две предельные точки должны лежать на ∂U , потому что f является гомеоморфизмом между D и U и, следовательно, последовательность, сходящаяся в U, должна быть образом при f последовательности, сходящейся в D . По предположению существует гомеоморфизм β между окружностями ∂D и ∂U . Поскольку β ⁻¹ является равномерно непрерывным, расстояние между двумя точками ξ _n и η _n, соответствующими a _n и bn _должно в ∂U, наименьшая дуга окружности в ∂D, соединяющая ξ _n и η _n стремиться к 0. Таким образом, в конечном итоге определяется . Обозначим τ _n образ этой дуги при β . Ввиду равномерной непрерывности β диаметр τ _n в ∂U стремится к 0. Вместе τ _n и f ∘ γ _{r n} образуют простую жорданову кривую. Его внутренняя часть содержится _Un в U по теореме Жордана о кривой для ∂U и ∂U _n : чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что U является внутренней частью ∂U , поскольку она ограничена, связна и одновременно открыта и замкнута в пространстве. дополнение ∂U ; поэтому внешняя область ∂U неограничена, связна и не пересекает ∂U _n , следовательно, ее замыкание содержится в замыкании внешности ∂U _n ; взяв дополнения, мы получим искомое включение. Диаметр ∂U _n стремится к 0, поскольку диаметры τ _n и f ∘ γ _{r n} диаметр Un _{стремятся к 0. Следовательно ,} стремится к 0. (Для ${\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}$ компактно, следовательно ${\bar {U}}_{n}$ содержит две точки u и v такие, что расстояние между ними максимально. Легко видеть, что u и v должны лежать в ∂U , а диаметры U и ∂U равны $|u-v|$.)

Теперь, если V _n обозначает пересечение D с диском | z − ζ| < r _n , то для всех достаточно больших n f ( V _n ) Un _. = дуга γrn _{и D} делит Действительно , на Vn _{область} дополнительную $V_{n}'$, поэтому при конформном гомеоморфизме f кривая f ∘ γ _{r n} делит U на $f(V_{n})$ и дополнительный регион $f(V_{n}')$; Un _, является связной компонентой U \ f ∘ γ _{r n} , так как она связна и одновременно открыта и замкнута в этом множестве, следовательно $U_{n}$ равно либо $f(V_{n})$ или $f(V_{n}')$. Диаметр $f(V_{n}')$ не убывает с ростом n , так как $n<n'$ подразумевает $V_{n}'\subset V_{n'}'$. Поскольку диаметр Un _{стремлении} стремится к 0 при n к бесконечности, в конечном итоге он становится меньше диаметра $f(V_{n}')$ и тогда обязательно f ( V _n ) = U _n .

, диаметр f ( Vn _что ) стремится к 0. С другой стороны, переходя при необходимости к подпоследовательностям ( zn ₎ и ( wn ₎ , можно предположить, zn _и оба wn _{Таким образом} в Vn _. лежат Но это дает противоречие, так как | ж ( z _п ) - ж ( ш _п )| ≥ ε . Поэтому f непрерывной на U. должна быть равномерно

Таким образом, f непрерывно продолжается до замыкания D . Поскольку f ( D ) = U , в силу компактности f переносит замыкание D на замыкание U и, следовательно, ∂D на ∂U . Если f не является однозначной, существуют точки u , v, на ∂D такие, что u ≠ v и f ( u ) = f ( v ). Пусть X и Y — радиальные линии от 0 до u и v . Тогда f ( X ∪ Y ) — жордановая кривая. Рассуждая, как и раньше, его внутренность V содержится в U и является компонентой связности U \ f ( X ∪ Y ) . С другой стороны, D \ ( X ∪ Y ) представляет собой непересекающееся объединение двух открытых секторов. В ₁ и В ₂ . Следовательно, для одного из них, W ₁ скажем, , f ( W ₁ ) = V . Пусть Z — часть ∂W ₁ на единичной окружности, так что Z — замкнутая дуга, а ( Z ) — подмножество как ∂U , так и замыкания V. f Но их пересечение — одна точка, и, следовательно, постоянна на Z. f Согласно принципу отражения Шварца, f можно аналитически продолжить путем конформного отражения поперек дуги окружности. Поскольку непостоянные голоморфные функции имеют изолированные нули, это заставляет f быть постоянной, противоречие. Таким образом, f одноединственна и, следовательно, является гомеоморфизмом замыкания Д. ​

Два разных доказательства теоремы Каратеодори описаны в Carathéodory (1954) и Carathéodory (1998) . Первое доказательство следует оригинальному методу доказательства Каратеодори 1913 года с использованием свойств меры Лебега на окружности: непрерывное продолжение функции g , обратной функции f, до ∂U подтверждается теоремой Фату о граничном поведении ограниченных гармонических функций на единичном круге. . Второе доказательство основано на методе Линделёфа (1914) , где было установлено усиление неравенства максимального модуля для ограниченных голоморфных функций h, определенных на ограниченной области V : если a лежит в V , то

| час ( а )| ≤ м ^т ⋅ М ^{1 - т} ,

где 0 ≤ t ≤ 1, M — максимальный модуль h для последовательных пределов ∂U , а m — максимальный модуль h для последовательных пределов ∂U, лежащих в секторе с центром в a, стягивающем угол 2π t в точке a .

Непрерывное расширение и теорема Каратеодори-Торхорста

Расширение теоремы утверждает, что конформный изоморфизм

$g\colon \mathbb {D} \to U$,

где $U$ является односвязным подмножеством сферы Римана , непрерывно продолжается до единичной окружности тогда и только тогда, граница когда $U$ подключен локально .

Этот результат часто также приписывают Каратеодори, но впервые он был сформулирован и доказан Мари Торхорст в ее диссертации 1918 года: под руководством Ганса Хана Каратеодори , используя теорию простых целей . Точнее, Торхорст доказал, что локальная связность эквивалентна домену, имеющему только простые концы первого рода. По теории простых концов последнее свойство, в свою очередь, эквивалентно $g$ имеющий непрерывное расширение.

Ссылки

• Каратеодори, К. (1913a), «О назначении ребер в конформном отображении», Göttingen Nachrichten : 509–518.
• Каратеодори, К. (1913b), «О взаимном отношении ребер при конформном отображении внутренней части жордановой кривой на окружность» , Mathematical Annals , 73 (2), Springer Berlin / Heidelberg: 305–320, doi : 10.1007/ BF01456720 , ISSN   0025-5831 , JFM   44.0757.01 , S2CID   117117051
• Каратеодори, К. (1954), Теория функций комплексной переменной, Vol. 2 , перевод Ф. Стейнхардта, Челси
• Каратеодори, К. (1998), Конформное представление (перепечатка второго издания 1952 года) , Дувр, ISBN  0-486-40028-Х
• Линделеф, Э. (1914), «О конформном представлении», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 158 , Париж: 245–247.
• Линделёф, Э. (1916), «О конформном представлении односвязной области на площади круга», 4-й Международный конгресс скандинавских математиков , стр. 59–90
• Альфорс, Ларс В. (2010), Конформные инварианты: темы геометрической теории функций , AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-5270-5
• Гарнетт, Джон Б.; Маршалл, Дональд Э. (2005), Гармоническая мера , Новые математические монографии, том. 2, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-47018-8
• Голузин Г.М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, вып. 26, Американское математическое общество
• Кранц, Стивен Г. (2006), Геометрическая теория функций: исследования в комплексном анализе , Биркхойзер, ISBN  0-8176-4339-7
• Маркушевич А.И. (1977), Теория функций комплексной переменной. Том. III , издательство «Челси», ISBN  0-8284-0296-5 , МР   0444912
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica / Mathematical Textbooks, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт
• Поммеренке, К. (1992), Граничное поведение конформных отображений , Basic Teachings of the Mathematical Sciences, vol. 299, Спрингер, ISBN  3-540-54751-7
• Шилдс, Аллен (1988), «Каратеодори и конформное отображение», The Mathematical Intelligencer , 10 (1): 18–22, doi : 10.1007/BF03023846 , ISSN   0343-6993 , MR   0918659 , S2CID   189887440
• Уайберн, Гордон Т. (1942), Аналитическая топология , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 28 лет, Американское математическое общество.