Наполненный набор Юлии

Заполненный набор Юлии $K(f)$ полинома $f$ — множество Жюлиа и его внутреннее неэкранируемое множество .

Формальное определение

Заполненный набор Юлии $K(f)$ полинома $f$ определяется как множество всех точек $z$ динамической плоскости, имеющие ограниченную орбиту относительно $f$

$$K(f){\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}\left\{z\in \mathbb {C} :f^{(k)}(z)\not \to \infty ~{\text{as}}~k\to \infty \right\}$$

где:

• $\mathbb {C}$ это набор комплексных чисел
• $f^{(k)}(z)$ это $k$ -кратная композиция из $f$ сам с собой = итерация функции $f$

Связь с набором Фату

Заполненный набор Джулии является абсолютным) дополнением привлекательного бассейна бесконечности ( .

$$K(f)=\mathbb {C} \setminus A_{f}(\infty )$$

Притягательный таз бесконечности — один из компонентов набора Фату .

$$A_{f}(\infty )=F_{\infty }$$

Другими словами, заполненное множество Жюлиа является дополнением неограниченного компонента Фату :

$$K(f)=F_{\infty }^{C}.$$

между Джулией, заполненным набором Джулии и притягательным

Множество Джулии является общей границей заполненного множества Джулии и притягивающего бассейна бесконечности .

$$J(f)=\partial K(f)=\partial A_{f}(\infty )$$

где: $A_{f}(\infty )$ обозначает притягивающий бассейн бесконечности для = внешний вид заполненного множества Жюлиа = набор точек выхода $f$

$$A_{f}(\infty )\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{z\in \mathbb {C} :f^{(k)}(z)\to \infty \ as\ k\to \infty \}.$$

Если заполненное множество Жюлиа не имеет внутренности , то множество Жюлиа совпадает с заполненным множеством Жюлиа. Это происходит, когда все критические точки $f$ являются предпериодическими. Такие критические точки часто называют точками Мисюревича .

Позвоночник

• 
  Набор кролика Юлия с позвоночником
• 
  Базилика Юлия с корешком

Наиболее изученными полиномами, вероятно, являются полиномы вида $f(z)=z^{2}+c$, которые часто обозначают $f_{c}$, где $c$ любое комплексное число. В этом случае позвоночник $S_{c}$ из заполненного набора Джулии $K$ определяется как дуга между $\beta$-фиксированная точка и $-\beta$,

$$S_{c}=\left[-\beta ,\beta \right]$$

с такими свойствами:

• позвоночник лежит внутри $K$. Это имеет смысл, когда $K$ подключен и полон
• позвоночник инвариантен при вращении на 180 градусов,
• позвоночник — конечное топологическое дерево,
• Критическая точка $z_{cr}=0$ всегда принадлежит позвоночнику.
• $\beta$-фиксированная точка является точкой приземления внешнего луча с нулевым углом. ${\mathcal {R}}_{0}^{K}$,
• $-\beta$ является точкой приземления внешнего луча ${\mathcal {R}}_{1/2}^{K}$.

Алгоритмы построения позвоночника:

• подробная версия описана А. Дуади.
• Упрощенная версия алгоритма:
  • соединять $-\beta$ и $\beta$ в пределах $K$ по дуге,
  • когда $K$ имеет пустую внутреннюю часть, тогда дуга уникальна,
  • в противном случае выберите кратчайший путь, содержащий $0$.

Изгиб $R$:

$$R{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{1/2}\cup S_{c}\cup R_{0}$$

делит динамическую плоскость на две составляющие.

Изображения

• 
  Заполненный набор Жюлиа для f _c , c=1−φ=−0,618033988749…, где φ — золотое сечение.
• 
  Наполненная Юлия без интерьера = комплект Юлии. Это для c=i.
• 
  Заполненный набор Жюлиа для c=−1+0.1*i. Здесь набор Жюлиа — это граница заполненного множества Жюлиа.
• 
  Кролик Дуади
• 
  Заполненный набор Жюлиа для c = −0,8 + 0,156i.
• 
  Заполненный набор Юлии для c = 0,285 + 0,01i.
• 
  Заполненный набор Жюлиа для c = −1,476.

Имена

• самолет
• Кролик Дуади
• дракон
• базилика или фрактал Сан-Марко или дракон Сан-Марко
• цветная капуста
• дендрит
• диск Сигела

Ссылки

1. Пейтген Хайнц-Отто, Рихтер, ПХ: Красота фракталов: изображения сложных динамических систем. Спрингер-Верлаг 1986. ISBN   978-0-387-15851-8 .
2. Бодил Браннер : Голоморфные динамические системы в комплексной плоскости. Департамент математики Технического университета Дании, MAT-Report no. 1996-42 .