Ляпунов фрактал

Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB, в области [2, 4] × [2, 4].

Деталь фрактала Ляпунова в виде ласточки. Последовательность итераций AB, в области [3,81, 3,87] x [3,81, 3,87].

Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB, в области [2, 4] × [2, 4].

Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с последовательностью итераций BBBBBBAAAAAA, в области параметра роста ( A , B ) в [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4], известный как Циркон Зити .

В математике фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса-Ляпунова ) представляют собой бифуркационные фракталы, из расширения логистической карты , в которой степень роста населения r периодически переключается между двумя значениями A и B. полученные

строится Фрактал Ляпунова путем сопоставления областей устойчивости и хаотического поведения (измеряется с помощью показателя Ляпунова $\lambda$) в плоскости a − b для заданных периодических последовательностей a и b . На изображениях желтый цвет соответствует $\lambda <0$ (стабильность), а синий соответствует $\lambda >0$ (хаос).

Фракталы Ляпунова были открыты в конце 1980-х годов. немецко-чилийского физика Марио Маркуса из Института молекулярной физиологии Макса Планка . Они были представлены широкой публике благодаря научно-популярной статье о развлекательной математике, опубликованной в журнале Scientific American в 1991 году.

Свойства

Фракталы Ляпунова обычно рисуются для значений A и B в интервале $[0,4]$. Для больших значений интервал [0,1] перестает быть стабильным, и последовательность, вероятно, будет притягиваться бесконечностью, хотя сходящиеся циклы конечных значений продолжают существовать для некоторых параметров. Для всех итерационных последовательностей диагональ a = b всегда такая же, как и для стандартной однопараметрической логистической функции.

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. Другие (даже комплексные) критические точки итеративной функции в течение одного раунда — это те, которые проходят через значение 0,5 в первом раунде. Сходящийся цикл должен притягивать хотя бы одну критическую точку. Следовательно, все сходящиеся циклы можно получить, просто изменив последовательность итераций и сохранив начальное значение 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменению фрактала, поскольку одни ветви перекрываются другими. Например, фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB (см. верхний рисунок справа) не является совершенно симметричным относительно a и b .

Алгоритм

Алгоритм расчета фракталов Ляпунова работает следующим образом:

1. Выберите строку из As и B любой нетривиальной длины (например, AABAB).
2. Постройте последовательность $S$ формируется последовательными членами строки, повторяющимися столько раз, сколько необходимо.
3. Выберите точку $(a,b)\in [0,4]\times [0,4]$.
4. Определите функцию $r_{n}=a$ если $S_{n}=A$, и $r_{n}=b$ если $S_{n}=B$.
5. Позволять $x_{0}=0.5$и вычислить итерации $x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})$.
6. Вычислите показатель Ляпунова:
   $\lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|$
   На практике, $\lambda$ аппроксимируется выбором достаточно большого $N$ и отбросив первое слагаемое как $r_{0}(1-2x_{0})=r_{n}\cdot 0=0$ для $x_{0}=0.5$.
7. Раскрась точку $(a,b)$ в зависимости от стоимости $\lambda$ полученный.
8. Повторите шаги (3–7) для каждой точки плоскости изображения.

Дополнительные итерации

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Дополнительные размеры

Анимация 3D фрактала Ляпунова с последовательностью ABBBCA

Фракталы Ляпунова можно рассчитать более чем в двух измерениях. Строка последовательности для n -мерного фрактала должна быть построена из алфавита из n символов, например «ABBBCA» для трехмерного фрактала, который можно визуализировать либо как трехмерный объект, либо как анимацию, показывающую «срез» в направлении C. для каждого кадра анимации, как в примере, приведенном здесь.

Ссылки

• Дьюдни, АК (1991). «Прыжок в пространство Ляпунова». Научный американец . 265 (3): 130–132. doi : 10.1038/scientificamerican0991-178 .
• Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1989). «Показатели Ляпунова логистической карты с периодическим воздействием». Компьютеры и графика . 13 (4): 553–558. дои : 10.1016/0097-8493(89)90019-8 .
• Маркус, Марио (1990). «Хаос в картах с непрерывными и прерывистыми максимумами». Компьютеры в физике . 4 (5): 481. дои : 10.1063/1.4822940 .
• Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1998). «Глава 12. Показатели Ляпунова логистического отображения с периодическим воздействием». В Клиффорде А. Пиковере (ред.). Хаос и фракталы. Компьютерное графическое путешествие . Эльзевир. стр. 73-78 . дои : 10.1016/B978-0-444-50002-1.X5000-0 . ISBN  978-0-444-50002-1 .
• Маркус, Марио, «Искусство математики», Verlag Zweitauscheins, Франкфурт. ISBN   978-3-86150-767-3

Внешние ссылки

• Фракталы и хаос EFG – показатели Ляпунова
• Элерт, Гленн. «Пространство Ляпунова» . Гиперучебник Хаоса .