Логистическая карта

Логистическая карта — это полиномиальное отображение (эквивалентно рекуррентному отношению ) степени 2 , которое часто называют архетипическим примером того, как сложное хаотическое поведение может возникнуть из очень простых нелинейных динамических уравнений. Карта, первоначально использованная Эдвардом Лоренцем в 1960-х годах для демонстрации нерегулярных решений (например, уравнение 3 из ), был популяризирован в статье биолога Роберта Мэя в 1976 году . отчасти как демографическая модель дискретного времени, аналогичная логистическому уравнению, записанному Пьером Франсуа Верхюльстом . Математически логистическая карта записывается

$x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),$ ( 1 )

где x _n — число от нуля до единицы, которое представляет собой отношение существующей популяции к максимально возможной численности населения. Это нелинейное разностное уравнение предназначено для учета двух эффектов:

• воспроизводство , при котором численность населения будет увеличиваться со скоростью, пропорциональной текущей численности населения, когда размер популяции невелик,
• голод (смертность, зависящая от плотности), при которой темпы роста будут снижаться со скоростью, пропорциональной значению, полученному путем принятия теоретической «несущей способности» окружающей среды за вычетом текущей численности населения.

Обычно представляющие интерес значения параметра r находятся в интервале [0, 4] , так что x _n остается ограниченным на [0, 1] . Случай r = 4 логистической карты представляет собой нелинейное преобразование как карты побитового сдвига, так и µ = 2 случая карты палатки . Если r > 4 , это приводит к отрицательной численности населения. (Эта проблема не возникает в более старой модели Рикера , которая также демонстрирует хаотическую динамику.) Можно также рассматривать значения r в интервале [−2, 0] , так что x _n остается ограниченным на [−0,5, 1,5] .

Характеристики карты

Поведение, зависящее от r

На изображении ниже показано амплитудное и частотное содержание некоторых итераций логистической карты для значений параметров от 2 до 4.

При изменении параметра r наблюдается следующее поведение:

Эволюция различных начальных условий в зависимости от r

• При r между 0 и 1 популяция в конечном итоге вымрет, независимо от первоначальной популяции.
• При r между 1 и 2 популяция быстро приблизится к значению r − 1 / r , независимо от начальной популяции.

• 

  Эволюция различных начальных условий в зависимости от r со смещением

  При r между 2 и 3 популяция в конечном итоге также приблизится к тому же значению. r − 1 / r , но сначала будет некоторое время колебаться вокруг этого значения. Скорость сходимости линейна, за исключением r = 3 , когда она значительно медленнее, меньше линейной (см. Бифуркационная память ).
• При r от 3 до 1 + √ 6 ≈ 3,44949 популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между двумя значениями. Эти два значения зависят от r и определяются выражением $x_{\pm }={\frac {1}{2r}}\left(r+1\pm {\sqrt {(r-3)(r+1)}}\right)$.
• При r между 3,44949 и 3,54409 (приблизительно) почти при всех начальных условиях популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между четырьмя значениями. Последнее число является корнем полинома 12-й степени (последовательность A086181 в OEIS ).
• При увеличении r за пределы 3,54409 почти из всех начальных условий популяция будет приближаться к колебаниям среди 8 значений, затем 16, 32 и т. д. Длины интервалов параметров, которые приводят к колебаниям заданной длины, быстро уменьшаются; соотношение длин двух последовательных бифуркационных интервалов приближается к константе Фейгенбаума δ ≈ 4,66920 . Такое поведение является примером каскада удвоения периода .
• При r ≈ 3,56995 (последовательность A098587 в OEIS ) происходит начало хаоса, конец каскада удвоения периода. Практически из всех начальных условий мы уже не видим колебаний конечного периода. Незначительные изменения в первоначальной популяции со временем приводят к совершенно разным результатам, что является основной характеристикой хаоса.
• Большинство значений r за пределами 3,56995 демонстрируют хаотическое поведение, но все же существуют определенные изолированные диапазоны r , которые демонстрируют нехаотическое поведение; их иногда называют островами стабильности . Например, начиная с 1 + √ 8 (приблизительно 3,82843) существует диапазон параметров r , который показывает колебание между тремя значениями, а для немного более высоких значений r колебание между 6 значениями, затем 12 и т. д.
• В $r=1+{\sqrt {8}}=3.8284...$, возникает стабильный цикл периода-3.
• Развитие хаотического поведения логистической последовательности при изменении параметра r примерно от 3,56995 до примерно 3,82843 иногда называют сценарием Помо-Манневиля , характеризующимся периодической (ламинарной) фазой, прерываемой всплесками апериодического поведения. Такой сценарий имеет применение в полупроводниковых устройствах. Существуют и другие диапазоны, которые дают колебания между 5 значениями и т. д.; все периоды колебаний происходят при некоторых значениях r . Окно удвоения периода с параметром c представляет собой диапазон r -значений, состоящий из последовательности поддиапазонов. В k- м поддиапазоне содержатся значения r, для которых существует устойчивый цикл (цикл, притягивающий множество начальных точек единичной меры) периода 2. ^к в . Эта последовательность поддиапазонов называется каскадом гармоник . В поддиапазоне с устойчивым циклом периода 2 ^{к *} c , существуют неустойчивые циклы периода 2 ^к c для всех k < k * . Значение r в конце бесконечной последовательности поддиапазонов называется точкой накопления каскада гармоник. По мере увеличения r появляется последовательность новых окон с разными значениями c . Первый — для c = 1 ; все последующие окна, включающие нечетное c, происходят в порядке убывания c, начиная с произвольно большого c .
• В $r=3.678...,x=0.728...$, две хаотические полосы бифуркационной диаграммы пересекаются в первой точке Мисюревича логистического отображения. Он удовлетворяет уравнениям $r^{3}-2r^{2}-4r-8=0,x=1-1/r$.
• За пределами r = 4 почти все начальные значения в конечном итоге выходят за пределы интервала [0,1] и расходятся. Набор начальных условий, которые остаются в пределах [0,1], образуют канторово множество , и динамика, ограниченная этим канторовым множеством, хаотична.

Для любого значения r существует не более одного устойчивого цикла. Если устойчивый цикл существует, он глобально стабилен и притягивает к себе почти все точки. Некоторые значения r с устойчивым циклом некоторого периода имеют бесконечное число неустойчивых циклов различных периодов.

справа Бифуркационная диаграмма суммирует это. Горизонтальная ось показывает возможные значения параметра r, а вертикальная ось показывает набор значений x, асимптотически посещаемых почти из всех начальных условий при итерациях логистического уравнения с этим значением r .

Бифуркационная диаграмма логистической карты. Аттрактор r для любого значения параметра r показан на вертикальной линии при этом .

Бифуркационная диаграмма является самоподобной : если мы увеличим вышеупомянутое значение r ≈ 3,82843 и сосредоточимся на одном плече из трех, ситуация рядом будет выглядеть как уменьшенная и слегка искаженная версия всей диаграммы. То же самое справедливо и для всех остальных нехаотичных точек. Это пример глубокой и повсеместной связи между хаосом и фракталами .

Увеличение хаотичной области карты.

Стабильные области внутри хаотической области, где на границе между хаотичным и периодическим аттрактором происходит касательная бифуркация, дающая прерывистые траектории, как описано в сценарии Помо – Манневиля .

Мы также можем рассмотреть отрицательные значения r :

• При r между -2 и -1 логистическая последовательность также демонстрирует хаотическое поведение.
• При r между -1 и 1 - √ 6 и при x ₀ между 1/ r и 1-1/ r популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между двумя значениями, как в случае r между 3 и 1 + √ 6 , и заданной по той же формуле.

логистическая

Паутинная диаграмма логистической карты, показывающая хаотическое поведение для большинства значений r > 3,57.

Логистическая функция f (синяя) и ее итерированные версии f ² , ж ³ , ж ⁴ и ж ⁵ для р = 3,5 . Например, для любого начального значения по горизонтальной оси f ⁴ дает значение итерации четыре итерации спустя.

Относительная простота логистической карты делает ее широко используемой отправной точкой для рассмотрения концепции хаоса. Грубое описание хаоса состоит в том, что хаотические системы проявляют большую чувствительность к начальным условиям — свойство логистической карты для большинства значений r примерно от 3,57 до 4 (как отмечалось выше). Общим источником такой чувствительности к начальным условиям является то, что карта представляет собой повторяющееся сгибание и растяжение пространства, на котором она определена. В случае логистической карты описывающее ее квадратично- разностное уравнение можно рассматривать как операцию растяжения и складывания на интервале (0,1) .

На следующем рисунке показано растяжение и свертывание последовательности итераций карты. На рисунке (a) слева показан двумерный график Пуанкаре логистической карты пространства состояний для r = 4 и четко показана квадратичная кривая разностного уравнения ( 1 ). Однако мы можем встроить ту же последовательность в трехмерное пространство состояний, чтобы исследовать более глубокую структуру карты. Рисунок (b), справа, демонстрирует это, показывая, как изначально близлежащие точки начинают расходиться, особенно в тех областях x _t, которые соответствуют более крутым участкам графика.

Two- and three-dimensional Poincaré plots show the stretching-and-folding structure of the logistic map

Это растяжение и складывание приводит не просто к постепенному расхождению последовательностей итераций, а к экспоненциальному расхождению (см. показатели Ляпунова ), о чем также свидетельствует сложность и непредсказуемость хаотичной логистической карты. Фактически экспоненциальное расхождение последовательностей итераций объясняет связь между хаосом и непредсказуемостью: небольшая ошибка в предполагаемом начальном состоянии системы будет иметь тенденцию соответствовать большой ошибке на более позднем этапе ее эволюции. Следовательно, предсказания о будущих состояниях постепенно (на самом деле, экспоненциально ) становятся хуже, когда в наших знаниях об начальном состоянии есть даже очень небольшие ошибки. Эта непредсказуемость и кажущаяся случайность привели к тому, что уравнение логистической карты стало использоваться в качестве генератора псевдослучайных чисел в первых компьютерах.

При r = 2 функция $rx(1-x)$ пересекает $y=x$ именно в точке максимума, поэтому сходимость к точке равновесия имеет порядок $\delta ^{2^{n}}$. Следовательно, точку равновесия называют «сверхстабильной». Его показатель Ляпунова равен $-\infty$. Аналогичный аргумент показывает, что существует сверхстабильная $r$ значение в каждом интервале, где динамическая система имеет устойчивый цикл. На графике показателя Ляпунова это можно увидеть в виде резких провалов.

Поскольку карта ограничена интервалом на линии действительных чисел, ее размерность меньше или равна единице. Численные оценки дают корреляционную размерность 0,500 ± 0,005 ( Grassberger , 1983), размерность Хаусдорфа около 0,538 ( Grassberger 1981) и информационную размерность примерно 0,5170976 ( Grassberger 1983) для r ≈ 3,5699456 (начало хаоса). Примечание. Можно показать, что размерность корреляции определенно находится в диапазоне от 0,4926 до 0,5024.

Однако часто можно сделать точные и точные утверждения о вероятности будущего состояния хаотической системы. Если (возможно, хаотическая) динамическая система имеет аттрактор , то существует вероятностная мера , которая дает долгосрочную долю времени, проведенного системой в различных областях аттрактора. В случае логистической карты с параметром r = 4 и начальным состоянием в (0,1) аттрактором также является интервал (0,1) , а вероятностная мера соответствует бета-распределению с параметрами a = 0,5 и b. = 0,5 . Конкретно, инвариантная мера

${\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}.$

Непредсказуемость не является случайностью, но в некоторых обстоятельствах очень на нее похожа. Следовательно, и к счастью, даже если мы знаем очень мало о начальном состоянии логистической карты (или какой-либо другой хаотической системы), мы все равно можем что-то сказать о распределении состояний сколь угодно далеко в будущем и использовать эти знания для обоснования решений. в зависимости от состояния системы.

Логистическая карта с показателем Ляпунова .

Графическое представление

Бифуркационную диаграмму логистической карты можно визуализировать с помощью следующего кода Python :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

interval = (2.8, 4)  # start, end
accuracy = 0.0001
reps = 600  # number of repetitions
numtoplot = 200
lims = np.zeros(reps)

fig, biax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(16, 9)

lims[0] = np.random.rand()
for r in np.arange(interval[0], interval[1], accuracy):
    for i in range(reps - 1):
        lims[i + 1] = r * lims[i] * (1 - lims[i])

    biax.plot([r] * numtoplot, lims[reps - numtoplot :], "b.", markersize=0.02)

biax.set(xlabel="r", ylabel="x", title="logistic map")
plt.show()

Особые случаи карты

Верхняя граница, когда 0 ≤ r ≤ 1

Хотя точные решения рекуррентного соотношения доступны только в небольшом числе случаев, верхняя граница логистического отображения в замкнутой форме известна, когда 0 ≤ r ≤ 1 . Есть два аспекта поведения логистической карты, которые должны быть отражены верхней границей в этом режиме: асимптотическое геометрическое затухание с постоянным r и быстрое начальное затухание, когда x ₀ близко к 1, обусловленное (1 - x _n ) член рекуррентного соотношения. Следующая оценка отражает оба этих эффекта:

$\forall n\in \{0,1,\ldots \}\quad {\text{and}}\quad x_{0},r\in [0,1],\quad x_{n}\leq {\frac {x_{0}}{r^{-n}+x_{0}n}}.$

Решение при r = 4

Частный случай r = 4 на самом деле может быть решен точно, как и случай r = 2 ; однако общий случай можно предсказать только статистически. Решение при r = 4 :

$x_{n}=\sin ^{2}\left(2^{n}\theta \pi \right),$

где параметр начального состояния θ определяется выражением

$\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}\left({\sqrt {x_{0}}}\right).$

Для рационального θ после конечного числа итераций xn _{преобразуется} в периодическую последовательность. Но почти все θ иррациональны, а для иррационального x θ n _{никогда} не повторяется – он непериодичен. Это уравнение решения ясно демонстрирует две ключевые особенности хаоса – растяжение и складывание: коэффициент 2. ^н показывает экспоненциальный рост растяжения, что приводит к чувствительной зависимости от начальных условий , в то время как функция синуса в квадрате удерживает x _n свернутой в диапазоне [0,1] .

Для r = 4 эквивалентное решение в терминах комплексных чисел вместо тригонометрических функций:

$x_{n}={\frac {-\alpha ^{2^{n}}-\alpha ^{-2^{n}}+2}{4}}$

где α — любое из комплексных чисел

$\alpha =1-2x_{0}\pm {\sqrt {\left(1-2x_{0}\right)^{2}-1}}$

с модулем , равным 1. Так же, как квадрат синуса в тригонометрическом решении не приводит ни к сжатию, ни к расширению множества посещенных точек, в последнем решении этот эффект достигается за счет единичного модуля α .

Напротив, решение при r = 2 равно

$x_{n}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\left(1-2x_{0}\right)^{2^{n}}$

для x ₀ ∈ [0,1) . Поскольку (1 − 2 x ₀ ) ∈ (−1,1) для любого значения x _0, отличного от неустойчивой неподвижной точки 0, член (1 − 2 x ₀ ) ^{2 н} переходит в 0, когда n стремится к бесконечности, поэтому x _n переходит в стабильную фиксированную точку 1 / 2 .

Нахождение циклов любой длины при r = 4

Для случая r = 4 практически из всех начальных условий последовательность итераций хаотична. Тем не менее, существует бесконечное количество начальных условий, которые приводят к циклам, и действительно существуют циклы длины k для всех целых k > 0 . Мы можем использовать связь логистической карты с диадическим преобразованием (также известным как карта битового сдвига ), чтобы найти циклы любой длины. Если x следует логистическому отображению x _{n + 1} = 4 x _n (1 − x _n ), а y следует двоичному преобразованию

$y_{n+1}={\begin{cases}2y_{n}&0\leq y_{n}<{\tfrac {1}{2}}\\2y_{n}-1&{\tfrac {1}{2}}\leq y_{n}<1,\end{cases}}$

то они связаны гомеоморфизмом

$x_{n}=\sin ^{2}\left(2\pi y_{n}\right).$

Причина, по которой диадическое преобразование также называется картой битового сдвига, заключается в том, что когда y записывается в двоичной записи, карта перемещает двоичную точку на одну позицию вправо (и если бит слева от двоичной точки становится «1», эта «1» меняется на «0»). Например, цикл длиной 3 возникает, если итерация имеет 3-битную повторяющуюся последовательность в своем двоичном расширении (которая также не является однобитной повторяющейся последовательностью): 001, 010, 100, 110, 101 или 011. Итерация 001001001... отображается в 010010010..., которая отображается в 100100100..., которая, в свою очередь, отображается в исходный 001001001...; так что это 3-цикл карты битового сдвига. А остальные три повторяющиеся последовательности двоичного расширения дают 3-цикл 110110110... → 101101101... → 011011011... → 110110110.... Любой из этих 3-циклов можно преобразовать в дробную форму: например, первый заданный 3-цикл можно записать как 1 / 7 → 2 / 7 → 4 / 7 → 1/7 ​ ​ . Используя приведенный выше перевод карты битового сдвига в $r=4$ логистическая карта дает соответствующий логистический цикл 0,611260467... → 0,950484434... → 0,188255099... → 0,611260467.... Мы могли бы аналогичным образом перевести другой 3-цикл с битовым сдвигом в соответствующий логистический цикл. Аналогично, циклы любой длины k можно найти в карте битового сдвига и затем преобразовать в соответствующие логистические циклы.

Однако, поскольку почти все числа в [0,1) иррациональны, почти все начальные условия карты побитового сдвига приводят к непериодичности хаоса. Это один из способов увидеть, что логистическая карта r = 4 хаотична почти для всех начальных условий.

Количество циклов (минимальной) длины k = 1, 2, 3,… для логистической карты с r = 4 ( палаточная карта с µ = 2 ) представляет собой известную целочисленную последовательность (последовательность A001037 в OEIS ): 2, 1 , 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161.... Это говорит нам о том, что логистическая карта с r = 4 имеет 2 фиксированные точки, 1 цикл длины 2, 2 цикла длиной 3 и так далее. Эта последовательность принимает особенно простой вид для простых k : 2 ⋅ 2 ^{к - 1} - 1 / к . Например: 2 ⋅ 2 ^{13 − 1} − 1/13 = 630 — количество циклов длины 13. Поскольку этот случай логистического отображения хаотичен почти для всех начальных условий, все эти циклы конечной длины неустойчивы.

Универсальность

– путь к

На логистической карте у нас есть функция $f_{r}(x)=rx(1-x)$, и мы хотим изучить, что происходит, когда мы повторяем карту много раз. Карта может попасть в фиксированную точку, фиксированный цикл или хаос. Когда карта попадает в стабильный фиксированный цикл длины $n$, мы обнаружим, что график $f_{r}^{n}$ и график $x\mapsto x$ пересекается в $n$ точек, а наклон графика $f_{r}^{n}$ ограничен $(-1,+1)$ на этих перекрестках.

Например, когда $r=3.0$, у нас есть единственное пересечение с наклоном, ограниченным $(-1,+1)$, что указывает на то, что это стабильная одиночная фиксированная точка.

Как $r$ увеличивается до предела $r=3.0$, точка пересечения разделяется на две, что соответствует удвоению периода. Например, когда $r=3.4$, имеется три точки пересечения: средняя нестабильна, а две другие стабильны.

Как $r$ подходы $r=3.45$, аналогично происходит еще одно удвоение периода. Удвоения периода происходят все чаще и чаще, пока в определенном $r\approx 3.56994567$, удвоения периода становятся бесконечными, а карта становится хаотичной. Это путь удвоения периода к хаосу .

Отношения между $x_{n+2}$ и $x_{n}$ когда $a=2.7$. Перед периодом удвоения происходит бифуркация. Орбита сходится к неподвижной точке $x_{f2}$.

Отношения между $x_{n+2}$ и $x_{n}$ когда $a=3$. Наклон касательной в фиксированной точке $x_{f2}$. равно 1, и происходит бифуркация удвоения периода.

Отношения между $x_{n+2}$ и $x_{n}$ когда $a=3.3$. Фиксированная точка $x_{f2}$ становится нестабильным, распадаясь на устойчивый цикл периодического 2.

Когда $r=3.0$, у нас есть единственное пересечение с наклоном ровно $+1$, что указывает на то, что он вот-вот подвергнется периоду удвоения.

Когда $r=3.4$, имеется три точки пересечения: средняя нестабильна, а две другие стабильны.

Когда $r=3.45$, имеется три точки пересечения, средняя из которых неустойчива, а две другие имеют точный наклон $+1$, что указывает на то, что он вот-вот подвергнется еще одному периоду удвоения.

Когда $r\approx 3.56994567$, существует бесконечно много пересечений, и мы пришли к хаосу по пути удвоения периода .

Предел масштабирования

Основная статья: функция Фейгенбаума

Подход к пределу масштабирования как $r$ подходы $r^{*}=3.5699\cdots$ снизу.

В момент хаоса $r^{*}=3.5699\cdots$, поскольку мы повторяем удвоения периода $f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots$, графики кажутся похожими друг на друга, за исключением того, что они сжались к середине и повернуты на 180 градусов, сходясь во фрактал.

Глядя на изображения, можно заметить, что в точке хаоса $r^{*}=3.5699\cdots$, кривая $f_{r^{*}}^{\infty }$ похоже на фрактал. Кроме того, поскольку мы повторяем удвоения периода $f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots$, графики кажутся похожими друг на друга, за исключением того, что они сморщены к середине и повернуты на 180 градусов.

Это подсказывает нам предел масштабирования: если мы неоднократно удваиваем функцию, то увеличиваем ее на $\alpha$ для определенной константы $\alpha$:

$$f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))$$

тогда в пределе мы получим функцию $g$ это удовлетворяет $g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))$. Это функция Фейгенбаума , которая появляется на большинстве путей удвоения периода к хаосу (таким образом, это пример универсальности ). Кроме того, по мере того, как интервалы удвоения периода становятся все короче и короче, отношение между двумя интервалами удвоения периода сходится к пределу, первая константа Фейгенбаума $\delta =4.6692016\cdots$.

Продолжительность: 3 секунды. 0:03

За неправильные значения масштабного коэффициента $\alpha$, отображение не сходится к пределу, но когда $\alpha =2.5029\dots$, оно сходится.

В момент хаоса $r^{*}=3.5699\cdots$, поскольку мы повторяем итерацию функционального уравнения $f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))$ с $\alpha =2.5029\dots$, мы обнаруживаем, что отображение сходится к пределу.

Константа $\alpha$ можно найти численно, перепробовав множество возможных значений. При неправильных значениях карта не сходится к пределу, но при $\alpha =2.5029\dots$, оно сходится. Это вторая константа Фейгенбаума.

Хаотический режим

В хаотическом режиме $f_{r}^{\infty }$, предел итераций карты, становится хаотичными темными полосами, перемежающимися нехаотичными яркими полосами.

В хаотическом режиме $f_{r}^{\infty }$, предел итераций карты, становится хаотичными темными полосами, перемежающимися нехаотичными яркими полосами.

Другие ограничения масштабирования

Когда $r$ подходы $r\approx 3.8494344$, у нас есть другой подход к хаосу, основанный на удвоении периода, но на этот раз с периодами 3, 6, 12, ... Здесь снова те же константы Фейгенбаума. $\delta ,\alpha$. Предел ${\textstyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$ также является той же функцией Фейгенбаума . Это пример универсальности .

Продолжительность: 12 секунд. 0:12

Логистическая карта приближается к пределу масштабирования хаоса, удвояющего период $r^{*}=3.84943\dots$ снизу. В пределе это имеет ту же форму, что и форма $r^{*}=3.5699\cdots$, поскольку все пути удвоения периода к хаосу одинаковы (универсальность).

Мы также можем рассмотреть путь к хаосу с утроением периода, выбрав последовательность $r_{1},r_{2},\dots$ такой, что $r_{n}$ является самым низким значением за период. $3^{n}$ окно бифуркационной диаграммы. Например, у нас есть $r_{1}=3.8284,r_{2}=3.85361,\dots$, с пределом $r_{\infty }=3.854077963\dots$. Здесь другая пара констант Фейгенбаума. $\delta =55.26\dots ,\alpha =9.277\dots$. И $f_{r}^{\infty }$сходится к фиксированной точке

$$f(x)\mapsto -\alpha f(f(f(-x/\alpha )))$$

В качестве другого примера, период-4-pling имеет пару констант Фейгенбаума, отличных от констант удвоения периода, даже несмотря на то, что период-4-pling достигается двумя удвоениями периода. Подробно определите $r_{1},r_{2},\dots$ такой, что $r_{n}$ является самым низким значением за период. $4^{n}$ окно бифуркационной диаграммы. Тогда у нас есть $r_{1}=3.960102,r_{2}=3.9615554,\dots$, с пределом $r_{\infty }=3.96155658717\dots$. Здесь другая пара констант Фейгенбаума. $\delta =981.6\dots ,\alpha =38.82\dots$.

В общем, каждый путь к хаосу, умножающий период, имеет свою собственную пару констант Фейгенбаума. На самом деле их обычно больше одного. Например, для периода 7-pling существует как минимум 9 различных пар констант Фейгенбаума.

В целом, ${\textstyle 3\delta \approx 2\alpha ^{2}}$, и соотношение становится точным, когда оба числа увеличиваются до бесконечности: $\lim \delta /\alpha ^{2}=2/3$.

одномерных

Универсальность одномерных отображений с параболическими максимумами и константами Фейгенбаума $\delta =4.669201...$, $\alpha =2.502907...$ .

Постепенное увеличение $G$ с интервалом $[0,\infty )$ меняет динамику от регулярной к хаотичной с качественно той же бифуркационной диаграммой , что и для логистической карты.

Оценка

Константы Фейгенбаума можно оценить с помощью аргумента перенормировки. (раздел 10.7, ).

В силу универсальности мы можем использовать другое семейство функций, которое также претерпевает неоднократное удвоение периода на пути к хаосу, и хотя это не совсем логистическое отображение, оно все равно будет давать те же константы Фейгенбаума.

Дайте определение семье

$$f_{r}(x)=-(1+r)x+x^{2}$$

Семья имеет точку равновесия в нуле, и так как $r$ увеличивается, он претерпевает бифуркацию удвоения периода при $r=r_{0},r_{1},r_{2},...$.

Первая бифуркация происходит в $r=r_{0}=0$. После бифуркации удвоения периода мы можем найти устойчивую орбиту периода 2 с помощью $f_{r}(p)=q,f_{r}(q)=p$, что дает

$${\begin{cases}p={\frac {1}{2}}(r+{\sqrt {r(r+4)}})\\q={\frac {1}{2}}(r-{\sqrt {r(r+4)}})\end{cases}}$$

В какой-то момент $r=r_{1}$стабильная орбита периода 2 снова претерпевает бифуркацию с удвоением периода, образуя стабильную орбиту периода 4. Чтобы узнать, что представляет собой стабильная орбита, мы «увеличиваем» область $x=p$, используя аффинное преобразование $T(x)=x/c+p$. Теперь, с помощью обычной алгебры, мы имеем

$$(T^{-1}\circ f_{r}^{2}\circ T)(x)=-(1+S(r))x+x^{2}+O(x^{3})$$

где $S(r)=r^{2}+4r-2,c=r^{2}+4r-3{\sqrt {r(r+4)}}$. Примерно $S(r)=0$, происходит вторая бифуркация, таким образом $S(r_{1})\approx 0$.

По самоподобию третья бифуркация, когда $S(r)\approx r_{1}$, и так далее. Таким образом, мы имеем $r_{n}\approx S(r_{n+1})$, или $r_{n+1}\approx {\sqrt {r_{n}+6}}-2$. Итерируя эту карту, мы находим $r_{\infty }=\lim _{n}r_{n}\approx \lim _{n}S^{-n}(0)={\frac {1}{2}}({\sqrt {17}}-3)$, и $\lim _{n}{\frac {r_{\infty }-r_{n}}{r_{\infty }-r_{n+1}}}\approx S'(r_{\infty })\approx 1+{\sqrt {17}}$.

Таким образом, мы имеем оценки $\delta \approx 1+{\sqrt {17}}=5.12...$, и $\alpha \approx r_{\infty }^{2}+4r_{\infty }-3{\sqrt {r_{\infty }^{2}+4r_{\infty }}}\approx -2.24...$. Они находятся в пределах 10% от истинных значений.

Логистическая карта и логистическое

Логистическая карта демонстрирует многочисленные характеристики как периодических, так и хаотических решений, тогда как логистическое обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) демонстрирует регулярные решения, обычно называемые S-образной сигмовидной функцией. Логистическую карту можно рассматривать как дискретный аналог логистического ОДУ, и их корреляция широко обсуждается в литературе.

События

В игрушечной модели для дискретной лазерной динамики: $x\rightarrow Gx(1-\tanh(x))$, где $x$ означает амплитуду электрического поля, $G$ — коэффициент усиления лазера как параметр бифуркации.

См. также

• Логистическая функция , решение непрерывного аналога логистической карты: логистического дифференциального уравнения .
• Устойчивость по Ляпунову # Определение для систем с дискретным временем
• Мальтузианская модель роста
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений , частным случаем которых является логистическое отображение, ограниченное вещественной линией.
• Сеть радиальной базисной функции , которая иллюстрирует обратную задачу для логистической карты.
• Уравнение Шредера
• Жесткое уравнение

Ссылки

• Грассбергер, П .; Прокачча, И. (1983). «Измерение странности странных аттракторов». Физика Д. 9 (1–2): 189–208. Бибкод : 1983PhyD....9..189G . дои : 10.1016/0167-2789(83)90298-1 .
• Грассбергер, П. (1981). «О хаусдорфовой размерности фрактальных аттракторов». Журнал статистической физики . 26 (1): 173–179. Бибкод : 1981JSP....26..173G . дои : 10.1007/BF01106792 . S2CID   119833080 .
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-850840-3 .
• Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос . Издательство Персей. ISBN  978-0-7382-0453-6 .
• Туфилларо, Николас; Эбботт, Тайлер; Рейли, Иеремия (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу . Аддисон-Уэсли Нью-Йорк. ISBN  978-0-201-55441-0 .

Внешние ссылки

• Гиперучебник Хаоса . Вводный курс по хаосу и фракталам.
• Интерактивная визуализация логистической карты в виде Jupyter . блокнота
• Логистическая карта и хаос Элмера Г. Винса
• Сложность и хаос (аудиокнига) Роджера Уайта. Глава 5 посвящена логистическому уравнению.
• « История повторяющихся карт » в «Новый вид науки» книге Стивена Вольфрама . Шампейн, Иллинойс: Wolfram Media, стр. 918, 2002.
• «Очень краткая история универсальности в удвоении периода» П. Цвитановича.
• «Не такая уж короткая история универсальной функции» П. Цвитановича.
• Дискретное логистическое уравнение Марека Боднара по мотивам работы Фила Рамсдена, Демонстрационный проект Wolfram .
• Мультипликативное соединение двух логистических карт К. Пеллисера-Лостао и Р. Лопеса-Руиса после работы Эда Пегга-младшего, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Использование SAGE для исследования дискретного логистического уравнения