Карта палаток

График функции карты палатки

Пример итерации начального условия x ₀ = 0,4 по карте палатки с µ = 1,9.

В математике палаточная карта с параметром µ представляет собой вещественную определяемую функцию f _µ, формулой

$f_{\mu }(x):=\mu \min\{x,\,1-x\},$

название связано палаткообразной формой графика μ f _. с Для значений параметра µ в пределах 0 и 2, f _µ отображает единичный интервал [0, 1] в себя, тем самым определяя с дискретным временем на нем динамическую систему (эквивалентно рекуррентному отношению ). В частности, итерация точки x ₀ в [0, 1] приводит к возникновению последовательности $x_{n}$:

$x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}<{\frac {1}{2}}\\\mu (1-x_{n})&\mathrm {for} ~~{\frac {1}{2}}\leq x_{n}\end{cases}}$

где µ — положительная действительная константа. Выбрав, например, параметр µ = 2, эффект функции f _µ можно рассматривать как результат операции сложения единичного интервала вдвое, а затем растяжения полученного интервала [0, 1/2] для получения снова интервала [0, 1]. Итерируя процедуру, любая точка x ₀ интервала занимает новые последующие позиции, как описано выше, генерируя последовательность x _n в [0, 1].

The $\mu =2$ Случай карты палатки представляет собой нелинейное преобразование как карты битового сдвига , так и случая r = 4 логистической карты .

Поведение

Орбиты карты палатки единичной высоты

Бифуркационная диаграмма карты палатки. Более высокая плотность указывает на повышенную вероятность того, что переменная x приобретет это значение для данного значения параметра μ.

Палаточное отображение с параметром µ = 2 и логистическое отображение с параметром r = 4 топологически сопряжены , и, таким образом, поведение двух карт в этом смысле идентично при итерации.

В зависимости от значения μ карта палатки демонстрирует диапазон динамического поведения от предсказуемого до хаотического.

• Если µ меньше 1, точка x = 0 является притягивающей неподвижной точкой системы для всех начальных значений x, т.е. система будет сходиться к x = 0 от любого начального значения x .
• Если μ равно 1, все значения x, меньшие или равные 1/2, являются неподвижными точками системы.
• Если µ больше 1, система имеет две неподвижные точки: одну в 0, а другую в µ/(µ + 1). Обе фиксированные точки неустойчивы, т.е. значение x, близкое к любой фиксированной точке, будет двигаться от нее, а не к ней. Например, когда µ равно 1,5, существует фиксированная точка x = 0,6 (поскольку 1,5(1 - 0,6) = 0,6), но начиная с x = 0,61 мы получаем

$0.61\to 0.585\to 0.6225\to 0.56625\to 0.650625\ldots$

• Если µ находится между 1 и квадратным корнем из 2, система отображает набор интервалов между µ − µ ² /2 и μ/2 сами по себе. Этот набор интервалов представляет собой набор Жюлиа карты, то есть это наименьшее инвариантное подмножество реальной линии под этой картой. Если µ больше квадратного корня из 2, эти интервалы сливаются, и множество Жюлиа представляет собой весь интервал из µ − µ ² /2 до µ/2 (см. бифуркационную диаграмму).
• Если µ находится между 1 и 2, интервал [µ − µ ² /2, µ/2] содержит как периодические, так и непериодические точки, хотя все орбиты неустойчивы (т.е. близлежащие точки движутся от орбит, а не к ним). Орбиты большей длины появляются по мере увеличения μ. Например:

${\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu =1$

${\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

${\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{4}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu \approx 1.8393$

• Если µ равно 2, система отображает интервал [0, 1] на себя. Теперь в этом интервале есть периодические точки с каждой длиной орбиты, а также непериодические точки. Периодические точки плотны в [0, 1], поэтому карта стала хаотичной . Действительно, динамика будет непериодической тогда и только тогда, когда $x_{0}$ является иррациональным . В этом можно убедиться, обратив внимание на то, что делает карта, когда $x_{n}$ выражается в двоичной записи: сдвигает двоичную точку на одну позицию вправо; затем, если то, что появляется слева от двоичной точки, является «единицей», все единицы заменяются нулями и наоборот (за исключением последнего бита «единица» в случае конечного двоичного расширения); начиная с иррационального числа, этот процесс продолжается вечно, не повторяясь. Инвариантной мерой x является равномерная плотность на единичном интервале. Автокорреляционная функция для достаточно длинной последовательности { $x_{n}$} будет показывать нулевую автокорреляцию при всех ненулевых задержках. Таким образом $x_{n}$ невозможно отличить от белого шума с помощью функции автокорреляции. Обратите внимание, что r = 4 случай логистической карты и $\mu =2$ случае карты палатки гомеоморфны друг другу: Обозначая логистически развивающуюся переменную как $y_{n}$, гомеоморфизм

$x_{n}={\tfrac {2}{\pi }}\sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).$

• Если µ больше 2, множество Жюлиа карты становится несвязным и распадается на множество Кантора в интервале [0, 1]. Множество Джулии по-прежнему содержит бесконечное количество как непериодических, так и периодических точек (включая орбиты любой длины орбиты), но теперь почти каждая точка в пределах [0, 1] в конечном итоге будет расходиться в бесконечность. Каноническое множество Кантора (полученное последовательным удалением средних третей из подмножеств единичной прямой) представляет собой множество Жюлиа палаточного отображения для ц = 3.

Числовые ошибки

Временной ряд карты Палатки для параметра m = 2,0, который показывает числовую ошибку: «график временного ряда (график переменной x = 50 никаких значений не наблюдается в зависимости от количества итераций) перестает колебаться, и после n ». Параметр m = 2,0, начальная точка случайна.

Увеличение диаграммы орбит

Увеличение возле кончика показывает больше деталей.

• Более пристальный взгляд на диаграмму орбиты показывает, что существует 4 разделенные области при µ ≈ 1. Для дальнейшего увеличения от кончика к подходящему x при определенном µ (например, 1,10) проводят 2 опорные линии (красные), как показано.

При дальнейшем увеличении показаны 8 отдельных областей.

• При измерении расстояния от соответствующих опорных линий дополнительная информация появляется в верхней и нижней части карты. (всего 8 отдельных областей на некоторых мкм)

Схема асимметричной палатки

Карта асимметричной палатки по сути является искаженной, но все же кусочно-линейной версией $\mu =2$ чехол с палаточной картой. Это определяется

$v_{n+1}={\begin{cases}v_{n}/a&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [0,a]\\(1-v_{n})/(1-a)&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [a,1]\end{cases}}$

для параметра $a\in [0,1]$. $\mu =2$ случай карты палатки - это настоящий случай $a={\tfrac {1}{2}}$. Последовательность { $v_{n}$} будет иметь ту же функцию автокорреляции первого порядка как и данные авторегрессионного процесса $w_{n+1}=(2a-1)w_{n}+u_{n+1}$ с { $u_{n}$} независимо и одинаково распределены . Таким образом, данные асимметричной палаточной карты невозможно отличить с помощью функции автокорреляции от данных, сгенерированных авторегрессионным процессом первого порядка.

Приложения

Карта палаток нашла применение в социальной когнитивной оптимизации, хаос в экономике, шифрование изображений, о риске и настроениях рынка в отношении ценообразования, и т. д.

См. также

• Сдвиг пространства
• Код Грея

Внешние ссылки

• ChaosBook.org