Качающаяся машина Этвуда

Качающаяся машина Этвуда. Меньшая масса, обозначенная m, может свободно раскачиваться, тогда как большая масса M может двигаться только вверх и вниз. Предположим, что опорными точками являются точки.

Качающаяся машина Этвуда (SAM) — это механизм, напоминающий простую машину Этвуда, за исключением того, что одной из масс разрешено качаться в двухмерной плоскости, создавая динамическую систему , которая является хаотичной для некоторых параметров системы и начальных условий .

В частности, он состоит из двух масс ( маятника , массы m и противовеса, массы M ), соединенных нерастяжимой невесомой струной, подвешенной на двух шкивах без трения нулевого радиуса, так что маятник может свободно раскачиваться вокруг своего шкива, не сталкиваясь с противовесом.

Обычная машина Атвуда допускает только «убегающие» решения ( т.е. либо маятник, либо противовес в конечном итоге сталкиваются со своим шкивом), за исключением $M=m$. Однако качающаяся машина Этвуда с $M>m$ имеет большое пространство параметров условий, которые приводят к множеству движений, которые можно классифицировать как завершающиеся или непрекращающиеся, периодические , квазипериодические или хаотические, ограниченные или неограниченные, сингулярные или неособые. маятника, из-за реактивной центробежной силы противодействующей весу противовеса. Исследования ЗРК начались в 1982 году в рамках дипломной работы под названием «Улыбки и слезы» (имеется в виду форма некоторых траекторий системы) Николаса Туфилларо в Рид-колледже в Рид-колледже под руководством Дэвида Дж. Гриффитса .

Уравнения движения

Движение качающейся машины Этвуда при M/m = 4,5.

Качающаяся машина Этвуда представляет собой систему с двумя степенями свободы. Мы можем вывести его уравнения движения, используя либо гамильтонову механику , либо механику Лагранжа . Пусть качающаяся масса будет $m$ а некачающаяся масса будет $M$. Кинетическая энергия системы, $T$, является:

${\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}Mv_{M}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)\end{aligned}}$

где $r$ - расстояние качающейся массы до ее оси, а $\theta$ - это угол качающейся массы относительно направления прямо вниз. Потенциальная энергия $U$ происходит исключительно за счет ускорения свободного падения :

${\begin{aligned}U&=Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}$

Тогда мы можем записать лагранжиан: ${\mathcal {L}}$, и гамильтониан, ${\mathcal {H}}$ системы:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=T-U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-Mgr+mgr\cos {\theta }\\{\mathcal {H}}&=T+U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}$

Тогда мы можем выразить гамильтониан через канонические импульсы: $p_{r}$, $p_{\theta }$:

${\begin{aligned}p_{r}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {r}}}}=(M+m){\dot {r}}\\p_{\theta }&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\\\therefore {\mathcal {H}}&={\frac {p_{r}^{2}}{2(M+m)}}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{2mr^{2}}}+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}$

Анализ Лагранжа можно применить для получения двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в $r$ и $\theta$. Во-первых, $\theta$ уравнение:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)\\-mgr\sin {\theta }&=2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}+mr^{2}{\ddot {\theta }}\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+g\sin {\theta }&=0\end{aligned}}$

И $r$ уравнение:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)\\mr{\dot {\theta }}^{2}-Mg+mg\cos {\theta }&=(M+m){\ddot {r}}\end{aligned}}$

Упростим уравнения, определив соотношение масс $\mu ={\frac {M}{m}}$. Тогда вышеизложенное становится:

$(\mu +1){\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}+g(\mu -\cos {\theta })=0$

Гамильтониан анализ также может быть применен для определения четырех ОДУ первого порядка с точки зрения $r$, $\theta$ и соответствующие им канонические импульсы $p_{r}$ и $p_{\theta }$:

${\begin{aligned}{\dot {r}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{r}}}}={\frac {p_{r}}{M+m}}\\{\dot {p_{r}}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {r}}}={\frac {p_{\theta }^{2}}{mr^{3}}}-Mg+mg\cos {\theta }\\{\dot {\theta }}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{\theta }}}}={\frac {p_{\theta }}{mr^{2}}}\\{\dot {p_{\theta }}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta }}}=-mgr\sin {\theta }\end{aligned}}$

Обратите внимание, что в обоих этих выводах, если положить $\theta$ и угловая скорость ${\dot {\theta }}$ до нуля, то в результате получается обычный некачающийся автомат Этвуда :

${\ddot {r}}=g{\frac {1-\mu }{1+\mu }}=g{\frac {m-M}{m+M}}$

Качающаяся машина Этвуда имеет четырехмерное фазовое пространство , определяемое формулой $r$, $\theta$ и соответствующие им канонические импульсы $p_{r}$ и $p_{\theta }$. Однако из-за сохранения энергии фазовое пространство ограничено тремя измерениями.

Система с массивными шкивами

Если принять, что шкивы в системе имеют момент инерции $I$ и радиус $R$тогда гамильтониан SAM будет:

${\mathcal {H}}\left(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }}\right)=\underbrace {{\frac {1}{2}}M_{t}\left(R{\dot {\theta }}-{\dot {r}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}} _{T}+\underbrace {gr\left(M-m\cos {\theta }\right)+gR\left(m\sin {\theta }-M\theta \right)} _{U},$

Где M _t — эффективная полная масса системы,

$M_{t}=M+m+{\frac {I}{R^{2}}}$

Это сводится к версии выше, когда $R$ и $I$ стать нулевым. Уравнения движения теперь такие:

${\begin{aligned}\mu _{t}({\ddot {r}}-R{\ddot {\theta }})&=r{\dot {\theta }}^{2}+g(\cos {\theta }-\mu )\\r{\ddot {\theta }}&=-2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+R{\dot {\theta }}^{2}-g\sin {\theta }\\\end{aligned}}$

где $\mu _{t}=M_{t}/m$.

Интегрируемость

Гамильтоновы системы можно разделить на интегрируемые и неинтегрируемые. SAM интегрируем, когда соотношение масс $\mu =M/m=3$. Система также выглядит довольно обычной для $\mu =4n^{2}-1=3,15,35,...$, но $\mu =3$ случае является единственным известным интегрируемым отношением масс. Показано, что система не интегрируема для $\mu \in (0,1)\cup (3,\infty )$. При многих других значениях соотношения масс (и начальных условий) ЗУР демонстрирует хаотическое движение .

Численные исследования показывают, что при сингулярной орбите (начальные условия: $r=0,{\dot {r}}=v,\theta =\theta _{0},{\dot {\theta }}=0$), маятник совершает один симметричный цикл и возвращается в начало координат независимо от значения $\theta _{0}$. Когда $\theta _{0}$ мала (почти вертикальна), траектория описывает «каплю», когда она велика, она описывает «сердце». Эти траектории можно точно решить алгебраически, что необычно для системы с нелинейным гамильтонианом.

Траектории

Качающаяся масса качающейся машины Этвуда движется по интересным траекториям или орбитам при различных начальных условиях и при разных соотношениях масс. К ним относятся периодические орбиты и орбиты столкновений.

Несингулярные орбиты

При определенных условиях система демонстрирует сложное гармоническое движение . Орбита называется неособой, если качающаяся масса не касается шкива.

Выбор неособых орбит

• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =2$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =3$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =5$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =6$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =16$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =19$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =21$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =24$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.

Периодические орбиты

Орбиты типа А для $\theta _{0}$ от 0,1 до 3,1.

Когда различные гармонические компоненты в системе находятся в фазе, результирующая траектория является простой и периодической, например, траектория «улыбки», напоминающая траекторию обычного маятника , и различные петли. В общем случае периодическая орбита существует, когда выполняется следующее:

$r(t+\tau )=r(t),\,\theta (t+\tau )=\theta (t)$

Простейшим случаем периодических орбит является орбита «улыбки», которую Туфилларо типа А. в своей статье 1984 года назвал орбитой

Выбор периодических орбит

• 
  «Улыбающаяся» орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =1.665$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =2.394$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =1.1727$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =1.555$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.

Сингулярные орбиты

Движение является сингулярным, если в какой-то момент качающаяся масса проходит через начало координат. Поскольку система инвариантна относительно обращения времени и перемещения, это эквивалентно тому, что маятник начинается в начале координат и направляется наружу:

$r(0)=0$

Область, близкая к точке поворота, является особой, поскольку $r$ близко к нулю, и уравнения движения требуют деления на $r$. Поэтому для тщательного анализа этих случаев необходимо использовать специальные методы.

Ниже приведены графики произвольно выбранных сингулярных орбит.

Выбор сингулярных орбит

• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =10$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.
• 
  Орбита качающейся машины Этвуда для $\mu =25$, $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$, и нулевая начальная скорость.

Орбиты столкновения

Орбиты типа B для $\theta _{0}$ от 0,1 до 3,1.

Орбиты столкновения (или завершающиеся сингулярные) орбиты представляют собой подмножество сингулярных орбит, образующихся, когда качающаяся масса выбрасывается из своей точки опоры с начальной скоростью, такой, что она возвращается к оси вращения (т. е. сталкивается с осью вращения):

$r(\tau )=r(0)=0,\,\tau >0$

Простейшим случаем орбит столкновения являются орбиты с отношением масс 3, которые всегда возвращаются симметрично к началу координат после выброса из источника, и типа B. в исходной статье Туфилларо они были названы орбитами Из-за внешнего вида их также называли каплевидными, сердечными или кроличьими ушными орбитами.

Когда качающаяся масса возвращается в исходное положение, масса противовеса $M$ должен мгновенно изменить направление, вызывая бесконечное натяжение соединительной струны. Таким образом, мы можем считать, что ходатайство о прекращении на данный момент.

Ограниченность

Для любого начального положения можно показать, что качающаяся масса ограничена кривой, представляющей собой коническое сечение . Опорная точка всегда находится в фокусе этой ограничивающей кривой. Уравнение этой кривой можно получить путем анализа энергии системы и использования закона сохранения энергии. Предположим, что $m$ выводится из состояния покоя в $r=r_{0}$ и $\theta =\theta _{0}$. Таким образом, полная энергия системы равна:

$E={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}$

Однако обратите внимание, что в граничном случае скорость качающейся массы равна нулю. Следовательно, мы имеем:

$Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}$

Чтобы убедиться, что это уравнение конического сечения, выделим для $r$:

${\begin{aligned}r&={\frac {h}{1-{\frac {\cos {\theta }}{\mu }}}}\\h&=r_{0}\left(1-{\frac {\cos {\theta _{0}}}{\mu }}\right)\end{aligned}}$

Обратите внимание, что в этом случае числитель является константой, зависящей только от начального положения, поскольку мы предположили, что начальное состояние находится в покое. Однако энергетическая константа $h$ также может быть рассчитано для ненулевой начальной скорости, и уравнение остается справедливым во всех случаях. Эксцентриситет сечения конического ${\frac {1}{\mu }}$. Для $\mu >1$, это эллипс, система ограничена, и качающаяся масса всегда остается внутри эллипса. Для $\mu =1$, это парабола и для $\mu <1$ это гипербола; в любом из этих случаев он не ограничен. Как $\mu$ становится сколь угодно большим, ограничивающая кривая приближается к окружности. Область, ограниченная кривой, известна как область Хилла.

Недавнее трехмерное расширение

В 2016 году был анонсирован новый интегрируемый случай задачи трехмерной качающейся машины Этвуда (3D-SAM). Как и в 2D-версии, задача интегрируема, если $M=3m$.

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Алмейда, М.А., Морейра, И.К. и Сантос, ФК (1998) «Об анализе Зиглина-Йошиды для некоторых классов однородных гамильтоновых систем», Бразильский физический журнал , том 28, № 4, Сан-Паулу, декабрь.
• Баррера, Эммануэль Ян (2003) Динамика машины Этвуда с двойным качанием , диссертация бакалавра, Национальный институт физики, Университет Филиппин.
• Бабелон, О, М. Талон, М. К. Пейранер (2010), «Анализ Ковалевски качающейся машины Этвуда», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical Vol. 43 (8).
• Брун, Б. (1987) «Хаос и порядок в слабосвязанных системах нелинейных осцилляторов», Physica Scripta Vol.35(1).
• Касасаяс Дж., Н. Б. Туфилларо и А. Нуньес (1989) «Бесконечное многообразие качающейся машины Этвуда», Европейский журнал физики, том 10 (10), стр. 173.
• Касасаяс, Дж., А. Нуньес и Н.Б. Туфилларо (1990) «Качающаяся машина Этвуда: интегрируемость и динамика», Journal de Physique Vol.51, стр. 1693.
• Чоудхури, А. Рой и М. Дебнат (1988) «Качающаяся машина Этвуда. Область дальнего и ближнего резонанса», Международный журнал теоретической физики , Vol. 27(11), стр.1405-1410.
• Гриффитс DJ и Т.А. Эбботт (1992) «Комментарий к «Удивительной демонстрации механики», Американский журнал физики, том 60 (10), стр. 951-953.
• Морейра, И.К. и М.А. Алмейда (1991) «Нётер-симметрии и качающаяся машина Этвуда», Journal of Physics II France 1, стр. 711-715.
• Нуньес А., Дж. Касасаяс и Н. Б. Туфилларо (1995) «Периодические орбиты интегрируемой качающейся машины Этвуда», Американский журнал физики, том 63 (2), стр. 121–126.
• Уаззани-Т., А. и Уцзани-Джамиль, М., (1995) «Бифуркации торов Лиувилля интегрируемого случая качающейся машины Этвуда», Il Nuovo Cimento B Vol. 110 (9).
• Оливье, Пужоль, Дж. П. Перес, Дж. П. Рамис, К. Симо, С. Саймон, Дж. А. Вейл (2010), «Качающаяся машина Этвуда: экспериментальные и численные результаты, а также теоретическое исследование», Physica D 239, стр. 1067–1081.
• Сирс, Р. (1995) «Комментарий к «Удивительной демонстрации механики», Американский журнал физики , том 63 (9), стр. 854-855.
• Йехия, Х.М., (2006) «Об интегрируемости движения тяжелой частицы по наклонному конусу и качающейся машине Этвуда», Mechanics Research Communications Vol. 33 (5), с.711–716.

Внешние ссылки

• Курс Имперского колледжа
• Колебания в машине Этвуда
• «Улыбки и слезы» (1982)
• 2010 Видео экспериментальной качающейся машины Этвуда
• Java-код с открытым исходным кодом для запуска качающейся машины Этвуда