Карта Икеды

Траектории 2000 случайных точек на карте Икеды с u = 0,918.

В физике и математике карта Икеды с дискретным временем, представляет собой динамическую систему заданную комплексным отображением.

$$z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{i(|z_{n}|^{2}+C)}$$

Исходная карта была впервые предложена Кенсуке Икеда как модель света, проходящего через нелинейный оптический резонатор ( кольцевую полость , содержащую нелинейную диэлектрическую среду) в более общей форме. К указанной выше упрощенной «нормальной» форме он был сведен Икедой, Дайдо и Акимото. $z_{n}$ обозначает электрическое поле внутри резонатора на n-м шаге вращения резонатора, а $A$ и $C$ — это параметры, которые указывают лазерный свет, подаваемый снаружи, и линейную фазу через резонатор соответственно. В частности, параметр $B\leq 1$ называется параметром диссипации, характеризующим потери резонатора, а в пределе $B=1$ карта Икеда становится консервативной картой.

Исходная карта Икеды часто используется в другой модифицированной форме, чтобы учесть эффект насыщения нелинейной диэлектрической среды:

$$z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}$$

Реальный 2D-пример приведенной выше формы:

$$x_{n+1}=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n}),\,$$

$$y_{n+1}=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n}),$$

где u - параметр и

$$t_{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}.$$

Для $u\geq 0.6$, эта система имеет хаотический аттрактор .

Аттрактор

Эта анимация показывает, как аттрактор системы меняется при изменении параметра $u$ варьируется от 0,0 до 1,0 с шагом 0,01. Динамическая система Икеда моделируется для 500 шагов, начиная с 20 000 случайно расположенных начальных точек. Последние 20 точек каждой траектории изображают аттрактор . Обратите внимание на раздвоение точек аттрактора как $u$ увеличивается.

$u=0.3$	$u=0.5$
$u=0.7$	$u=0.9$

Траектории точек

На графиках ниже показаны траектории 200 случайных точек для различных значений $u$. На вставке слева показана оценка аттрактора , а на вставке справа показан увеличенный график основной траектории.

и = 0,1	и = 0,5	и = 0,65
и = 0,7	и = 0,8	и = 0,85
и = 0,9	и = 0,908	и = 0,92

Код Octave/MATLAB для точечных траекторий

Продолжительность: 1 минута 3 секунды. 1:03

Карта Икеда состоит из вращения (на угол, зависящий от радиуса), изменения масштаба и сдвига. Этот процесс «растягивания и складывания» порождает странный аттрактор.

Код Octave/MATLAB для создания этих графиков приведен ниже:

% u = ikeda parameter
% option = what to plot
%  'trajectory' - plot trajectory of random starting points
%  'limit' - plot the last few iterations of random starting points
function ikeda(u, option)
P = 200; % how many starting points
N = 1000; % how many iterations
Nlimit = 20; % plot these many last points for 'limit' option
 
x = randn(1, P) * 10; % the random starting points
y = randn(1, P) * 10;
 
for n = 1:P,
    X = compute_ikeda_trajectory(u, x(n), y(n), N);
     
    switch option
        case 'trajectory' % plot the trajectories of a bunch of points
            plot_ikeda_trajectory(X); hold on;

        case 'limit'
            plot_limit(X, Nlimit); hold on;

        otherwise
            disp('Not implemented');
    end
end

axis tight; axis equal
text(- 25, - 15, ['u = ' num2str(u)]);
text(- 25, - 18, ['N = ' num2str(N) ' iterations']);
end

% Plot the last n points of the curve - to see end point or limit cycle
function plot_limit(X, n)
plot(X(end - n:end, 1), X(end - n:end, 2), 'ko');
end

% Plot the whole trajectory
function plot_ikeda_trajectory(X)
plot(X(:, 1), X(:, 2), 'k');
% hold on; plot(X(1,1), X(1,2), 'bo', 'markerfacecolor', 'g'); hold off
end

% u is the ikeda parameter
% x,y is the starting point
% N is the number of iterations
function [X] = compute_ikeda_trajectory(u, x, y, N)
X = zeros(N, 2);
X(1, :) = [x y];
 
for n = 2:N
     
    t = 0.4 - 6 / (1 + x ^ 2 + y ^ 2);
    x1 = 1 + u * (x * cos(t) - y * sin(t));
    y1 = u * (x * sin(t) + y * cos(t));
    x = x1;
    y = y1;

    X(n, :) = [x y];
end
end

Код Python для точечных траекторий

import math

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def main(u: float, points=200, iterations=1000, nlim=20, limit=False, title=True):
    """
    Args:
        u:float
            ikeda parameter
        points:int
            number of starting points
        iterations:int
            number of iterations
        nlim:int
            plot these many last points for 'limit' option. Will plot all points if set to zero
        limit:bool
            plot the last few iterations of random starting points if True. Else Plot trajectories.
        title:[str, NoneType]
            display the name of the plot if the value is affirmative
    """
    
    x = 10 * np.random.randn(points, 1)
    y = 10 * np.random.randn(points, 1)
    
    for n in range(points):
        X = compute_ikeda_trajectory(u, x[n][0], y[n][0], iterations)
        
        if limit:
            plot_limit(X, nlim)
            tx, ty = 2.5, -1.8
            
        else:
            plot_ikeda_trajectory(X)
            tx, ty = -30, -26
    
    plt.title(f"Ikeda Map ({u=:.2g}, {iterations=})") if title else None
    return plt

def compute_ikeda_trajectory(u: float, x: float, y: float, N: int):
    """Calculate a full trajectory

    Args:
        u - is the ikeda parameter
        x, y - coordinates of the starting point
        N - the number of iterations

    Returns:
        An array.
    """
    X = np.zeros((N, 2))
    
    for n in range(N):
        X[n] = np.array((x, y))
        
        t = 0.4 - 6 / (1 + x ** 2 + y ** 2)
        x1 = 1 + u * (x * math.cos(t) - y * math.sin(t))
        y1 = u * (x * math.sin(t) + y * math.cos(t))
        
        x = x1
        y = y1   
        
    return X

def plot_limit(X, n: int) -> None:
    """
    Plot the last n points of the curve - to see end point or limit cycle

    Args:
        X: np.array
            trajectory of an associated starting-point
        n: int
            number of "last" points to plot
    """
    plt.plot(X[-n:, 0], X[-n:, 1], 'ko')

def plot_ikeda_trajectory(X) -> None:
    """
    Plot the whole trajectory

    Args:
        X: np.array
            trajectory of an associated starting-point
    """
    plt.plot(X[:,0], X[:, 1], "k")

if __name__ == "__main__":
    main(0.9, limit=True, nlim=0).show()