Двойной маятник

Двойной маятник состоит из двух маятников, соединенных концами.

В физике и математике , в области динамических систем , двойной маятник, также известный как хаотический маятник, представляет собой маятник с другим маятником, прикрепленным к его концу, образуя простую физическую систему , которая демонстрирует богатое динамическое поведение с сильной чувствительностью к начальным условиям . Движение двойного маятника определяется системой связанных обыкновенных дифференциальных уравнений и носит хаотический характер .

и

Можно рассмотреть несколько вариантов двойного маятника; две конечности могут иметь одинаковую или неравную длину и массу, они могут быть простыми маятниками или сложными маятниками (также называемыми сложными маятниками), а движение может быть в трех измерениях или ограничено вертикальной плоскостью. В следующем анализе конечности считаются идентичными составными маятниками длиной l и массой m , а движение ограничивается двумя измерениями.

Двойной составной маятник

Движение двойного составного маятника (из численного интегрирования уравнений движения)

В составном маятнике масса распределена по его длине. Если масса двойного маятника распределена равномерно, то центр масс лимб имеет момент инерции I каждого лимба находится в его средней точке, а = 1/12 ​ ​ мл ² об этом пункте.

удобно использовать углы между каждым лимбом и вертикалью В качестве обобщенных координат, определяющих конфигурацию системы, . Эти углы обозначены θ ₁ и θ ₂ . Положение центра масс каждого стержня можно записать через эти две координаты. Если начало декартовой системы координат принять в точке подвеса первого маятника, то центр масс этого маятника находится в точке:

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}$

а центр масс второго маятника находится в точке

${\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}$

Этой информации достаточно, чтобы выписать лагранжиан.

Лагранжиан

Лагранжиан ​ ​

${\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}$

Первый член представляет собой линейную кинетическую энергию центра масс тел, а второй член — кинетическую энергию вращения вокруг центра масс каждого стержня. Последний член — это потенциальная энергия тел, находящихся в однородном гравитационном поле. Точечная запись указывает производную по времени рассматриваемой переменной.

Поскольку (см. Цепное правило и Список тригонометрических тождеств )

${\dot {x}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\cos \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\cos ^{2}\theta _{1}\right)$

${\dot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\sin \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\sin ^{2}\theta _{1}\right)$

${\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}{\tfrac {l^{2}}{4}}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {l^{2}}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2},$

и

${\dot {x}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}\right)$

${\dot {y}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}\right)$

${\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)$

$=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right),$

замена координат выше и перестановка уравнения дает

$L={\tfrac {ml^{2}}{2}}\left({\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {ml^{2}}{24}}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)$

$={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).$

Уравнения Эйлера-Лагранжа тогда дают два следующих нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка в $(\theta _{1},\theta _{2})$:

${\begin{array}{l}m_{2}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{2}\left(\left(\theta _{2}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+\theta _{2}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)+m_{1}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)=0\\g\sin \left(\theta _{2}\right)+l_{1}\left(\theta _{1}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)-\left(\theta _{1}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{2}\theta _{2}''=0\\\end{array}}$

как функций времени неизвестны Решения в замкнутой форме для θ ₁ и θ ₂ , поэтому решение системы может быть выполнено только численно , с использованием метода Рунге Кутты или аналогичных методов .

Параметрический график изменения во времени углов двойного маятника. Можно заметить, что график напоминает броуновское движение .

Хаотическое движение

График времени переворота маятника в зависимости от начальных условий

Длительная выдержка: двойной маятник, демонстрирующий хаотическое движение (отслеживается светодиодом )

Двойной маятник совершает хаотическое движение , и ясно, что оно чувствительно зависит от начальных условий . Изображение справа показывает время, прошедшее до того, как маятник перевернется, в зависимости от исходного положения, когда маятник отпущен в состоянии покоя. Здесь начальное значение θ ₁ колеблется по направлению x от −3,14 до 3,14. Начальное значение θ ₂ находится в диапазоне вдоль направления y от -3,14 до 3,14. Цвет каждого пикселя указывает, переворачивается ли маятник внутри:

• ${\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (черный)
• $10{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (красный)
• $100{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (зеленый)
• $1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (синий) или
• $10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (фиолетовый).

Три двойных маятника с почти идентичными начальными условиями со временем расходятся, показывая хаотическую природу системы.

Начальные условия, не приводящие к перевороту внутри $10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ нарисованы белым цветом.

Граница центральной белой области частично определяется законом сохранения энергии следующей кривой:

$3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.$

В пределах области, определенной этой кривой, то есть если

$3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,$

тогда энергетически невозможно перевернуть маятник. За пределами этой области маятник может перевернуться, но определить, когда он перевернется, — сложный вопрос. Аналогичное поведение наблюдается для двойного маятника, состоящего из двух точечных масс, а не из двух стержней с распределенной массой.

Отсутствие собственной частоты возбуждения привело к использованию двойных маятниковых систем в сейсмостойких конструкциях зданий, где само здание является основным перевернутым маятником, а для завершения двойного маятника подключается вторичная масса.

См. также

• Двойной перевернутый маятник
• Маятник (механика)
• Требюшет
• Шары
• Массовый демпфер
• В учебниках физики середины 20-го века термин «двойной маятник» используется для обозначения одиночного груза, подвешенного на веревке, которая, в свою очередь, подвешивается на V-образной веревке. Этот тип маятника , который создает кривые Лиссажу , теперь называется маятником Блэкберна .

Ссылки

• Мейрович, Леонард (1986). Элементы анализа вибрации (2-е изд.). МакГроу-Хилл Наука/инженерия/математика. ISBN  0-07-041342-8 .
• Эрик В. Вайсштейн, Двойной маятник (2005 г.), ScienceWorld (содержит подробную информацию о сложных уравнениях) и « Двойной маятник » Роба Морриса, Демонстрационный проект Wolfram , 2007 г. (анимация этих уравнений).
• Питер Линч , Двойной маятник , (2001). (Имитация Java-апплета.)
• Северо-Западный университет, Двойной маятник. Архивировано 3 июня 2007 г. в Wayback Machine ( симуляция Java-апплета).
• Группа теоретической астрофизики высоких энергий в UBC, Двойной маятник (2005).

Внешние ссылки

• Анимации и объяснения двойного маятника и физического двойного маятника (две квадратные пластины) Майка Уитленда (Университет Сиднея)

• Интерактивное моделирование физики с открытым исходным кодом на JavaScript с подробными уравнениями двойного маятника
• Интерактивное Javascript-моделирование двойного маятника
• Физическое моделирование двойного маятника с сайта www.myphysicallab.com с использованием кода JavaScript с открытым исходным кодом.
• Моделирование, уравнения и объяснение маятника Ротта
• Сравнительные видео двойного маятника с одинаковыми начальными условиями на YouTube.
• Double Pendulum Simulator — симулятор с открытым исходным кодом, написанный на C++ с использованием инструментария Qt .
• Онлайн-симулятор Java. Архивировано 16 августа 2022 г. на выставке Wayback Machine of the Imaginary .