Гармонограф

Гармонограф маятники — механический аппарат, в котором создают геометрическое изображение. Создаваемые рисунки обычно представляют собой кривые Лиссажу или связанные с ними рисунки большей сложности. Устройства, которые начали появляться в середине 19-го века и достигли пика популярности в 1890-х годах, не могут быть окончательно приписаны одному человеку, хотя Хью Блэкберн , профессор математики в Университете Глазго , обычно считается, что официальный изобретатель. ^[1]

В простом, так называемом «латеральном» гармониграфе используются два маятника для управления движением пера относительно поверхности рисования. Один маятник перемещает перо вперед и назад вдоль одной оси, а другой маятник перемещает поверхность рисования вперед и назад вдоль перпендикулярной оси. Изменяя частоту и фазу маятников относительно друг друга, создаются разные закономерности. Даже простой описанный гармониограф может создавать эллипсы , спирали , восьмерки и другие фигуры Лиссажу.

Более сложные гармониграфы включают в себя три или более маятников или связанные маятники вместе (например, подвешивание одного маятника за другим) или предполагают вращательное движение, при котором один или несколько маятников устанавливаются на подвесах, чтобы обеспечить движение в любом направлении.

Особый тип гармониграфа, пинтограф, основан на относительном движении двух вращающихся дисков, как показано по ссылкам ниже. (Пинтограф не следует путать с пантографом , который представляет собой механическое устройство, используемое для увеличения фигур.)

История

В 1870-х годах термин «гармониграф» засвидетельствован в связи с А.Э. Донкином и устройствами, построенными Сэмюэлем Чарльзом Тисли. ^[2]

Маятник Блэкберна

Маятник Блэкберна — устройство для иллюстрации простого гармонического движения , он был назван в честь Хью Блэкберна , описавшего его в 1844 году. Впервые это обсуждалось Джеймсом Дином в 1815 году и математически анализировалось Натаниэлем Боудичем в том же году. ^[3] Боб подвешивается на веревке, которая, в свою очередь, свисает с V-образной пары струн, так что маятник колеблется одновременно в двух перпендикулярных направлениях с разными периодами. Следовательно, боб следует по траектории, напоминающей кривую Лиссажу ; он принадлежит к семейству механических устройств, известных как гармониграфы. ^[4]

В учебниках физики середины 20-го века этот тип маятника иногда называют двойным маятником . ^[5]

Компьютерная фигура-гармограмма

Гармонограф создает свои фигуры, используя движения затухающих маятников. Движение затухающего маятника описывается уравнением

x(t)=A\sin(tf+p)e^{-dt},

в котором $f$ представляет частоту, $p$ представляет фазу, $A$ представляет собой амплитуду, $d$ представляет собой демпфирование и $t$ представляет время. Если этот маятник может двигаться вокруг двух осей (круглой или эллиптической формы), то в силу принципа суперпозиции движение стержня, соединенного с дном маятника, вдоль одной оси будет описываться уравнением

x(t)=A_{1}\sin(tf_{1}+p_{1})e^{-d_{1}t}+A_{2}\sin(tf_{2}+p_{2})e^{-d_{2}t}.

Типичный гармониграф имеет два маятника, которые движутся таким образом, и перо, которое приводится в движение двумя перпендикулярными стержнями, соединенными с этими маятниками. Следовательно, траектория фигуры гармониграфа описывается параметрическими уравнениями

{\begin{aligned}x(t)&=A_{1}\sin(tf_{1}+p_{1})e^{-d_{1}t}+A_{2}\sin(tf_{2}+p_{2})e^{-d_{2}t},\\y(t)&=A_{3}\sin(tf_{3}+p_{3})e^{-d_{3}t}+A_{4}\sin(tf_{4}+p_{4})e^{-d_{4}t}.\end{aligned}}

Соответствующая компьютерная программа может преобразовать эти уравнения в график, имитирующий гармониограф. Применяя первое уравнение второй раз к каждому уравнению, можно имитировать движущийся лист бумаги (см. рисунок ниже).

Галерея

Гармонограф в Квестаконе в Канберре , Австралия.
Фигура, полученная с помощью простого бокового гармониографа.
Фигура, полученная с помощью простого бокового гармониографа.
Фигура, созданная пинтографом
Компьютерная фигура-гармограмма

См. также

Спирограф

Примечания

^ Тернер, Стивен (февраль 1997 г.). «Демонстрация гармонии: некоторые из многих устройств, используемых для создания кривых Лиссажу перед осциллографом». Риттенхаус . 11 (42): 41.
^ Уитакер, Роберт Дж. (февраль 2001 г.). «Гармонографии. II. Круговая конструкция» . Американский журнал физики . 69 (2): 174–183. Бибкод : 2001AmJPh..69..174W . дои : 10.1119/1.1309522 .
^ Пук, Лесли Филип (2011). Понимание маятников: краткое введение . Спрингер. ISBN 978-9-40-073634-4 .
^ Бейкер, Грегори Л.; Блэкберн, Джеймс А. (2005). Маятник: пример из физики . Оксфорд. ISBN 978-0-19-156530-4 .
^ Фрэнсис Сирс и Марк В. Земански (1964). Университетская физика (3-е изд.). Издательство Аддисон-Уэсли.

Внешние ссылки

[1] Тернер, Стивен (февраль 1997 г.). «Демонстрация гармонии: некоторые из многих устройств, используемых для создания кривых Лиссажу перед осциллографом». Риттенхаус . 11 (42): 41.

[2] Уитакер, Роберт Дж. (февраль 2001 г.). «Гармонографии. II. Круговая конструкция» . Американский журнал физики . 69 (2): 174–183. Бибкод : 2001AmJPh..69..174W . дои : 10.1119/1.1309522 .

[3] Пук, Лесли Филип (2011). Понимание маятников: краткое введение . Спрингер. ISBN 978-9-40-073634-4 .

[4] Бейкер, Грегори Л.; Блэкберн, Джеймс А. (2005). Маятник: пример из физики . Оксфорд. ISBN 978-0-19-156530-4 .

[5] Фрэнсис Сирс и Марк В. Земански (1964). Университетская физика (3-е изд.). Издательство Аддисон-Уэсли.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]