Преобразование интервального обмена

График преобразования интервального обмена (черным цветом) с $\lambda =(1/15,2/15,3/15,4/15,5/15)$ и $\pi =(3,5,2,4,1)$. Синим цветом обозначена орбита, созданная начиная с $1/2$.

В математике преобразование обмена интервалами Это своего рода динамическая система , обобщающая вращение круга . Фазовое пространство состоит из единичного интервала , и преобразование происходит путем разрезания интервала на несколько подинтервалов и последующей перестановки этих подинтервалов. Они естественным образом возникают при изучении многоугольных биллиардов и течений, сохраняющих площадь .

Формальное определение

Позволять $n>0$ и пусть $\pi$ быть перестановкой на $1,\dots ,n$. Рассмотрим вектор $\lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ положительных действительных чисел (ширин подинтервалов), удовлетворяющих

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1.$

Определить карту $T_{\pi ,\lambda }:[0,1]\rightarrow [0,1],$ называется преобразованием обмена интервалами, связанным с парой $(\pi ,\lambda )$ следующее. Для $1\leq i\leq n$ позволять

$a_{i}=\sum _{1\leq j<i}\lambda _{j}\quad {\text{and}}\quad a'_{i}=\sum _{1\leq j<\pi (i)}\lambda _{\pi ^{-1}(j)}.$

Тогда для $x\in [0,1]$, определять

$T_{\pi ,\lambda }(x)=x-a_{i}+a'_{i}$

если $x$ лежит в подинтервале $[a_{i},a_{i}+\lambda _{i})$. Таким образом $T_{\pi ,\lambda }$ действует на каждом подинтервале вида $[a_{i},a_{i}+\lambda _{i})$ путем перевода , и он переставляет эти подинтервалы так, что подинтервал в позиции $i$ перемещается в положение $\pi (i)$.

Свойства

Любое интервальное преобразование обмена $T_{\pi ,\lambda }$ является биекцией ​ $[0,1]$ самому себе, сохраняющему меру Лебега . Он непрерывен, за исключением конечного числа точек.

Обратное преобразование интервального обмена $T_{\pi ,\lambda }$ снова является интервальным обменным преобразованием. По сути, это трансформация $T_{\pi ^{-1},\lambda '}$ где $\lambda '_{i}=\lambda _{\pi ^{-1}(i)}$ для всех $1\leq i\leq n$.

Если $n=2$ и $\pi =(12)$ (в обозначениях цикла ), и если мы соединим концы интервала, чтобы получился круг, то $T_{\pi ,\lambda }$ это просто вращение круга . Теорема Вейля о равнораспределении тогда утверждает, что если длина $\lambda _{1}$ иррационально то , $T_{\pi ,\lambda }$ однозначно эргодична . Грубо говоря, это означает, что орбиты точек $[0,1]$ равномерно равномерно распределены. С другой стороны, если $\lambda _{1}$ рационально, то каждая точка интервала периодична , а период является знаменателем $\lambda _{1}$ (написано в самых низких выражениях).

Если $n>2$и предоставил $\pi$ удовлетворяет определенным условиям невырожденности (а именно, нет целого числа $0<k<n$ такой, что $\pi (\{1,\dots ,k\})=\{1,\dots ,k\}$), глубокая теорема, которая была гипотезой М. Кина и принадлежит независимо Уильяму А. Вичу. и Говарду Мазуру утверждает, что почти для всех вариантов выбора $\lambda$ в единичном симплексе $\{(t_{1},\dots ,t_{n}):\sum t_{i}=1\}$ преобразование интервального обмена $T_{\pi ,\lambda }$ снова однозначно эргодична . Однако для $n\geq 4$ также существуют варианты $(\pi ,\lambda )$ так что $T_{\pi ,\lambda }$ эргодична , но не однозначно эргодична . Даже в этих случаях число инвариантных мер эргодических $T_{\pi ,\lambda }$ конечно и не более чем $n$.

Карты интервалов имеют топологическую энтропию . нулевую

Одометры

Диадический одометр $T$

Двойной одометр повторяется дважды; то есть $T^{2}.$

Двойной одометр, повторяемый трижды; то есть $T^{3}.$

Двойной одометр повторялся четыре раза; то есть $T^{4}.$

Диадический одометр можно понимать как преобразование интервального обмена счетного числа интервалов. Диадический одометр проще всего записать как преобразование

$T\left(1,\dots ,1,0,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)$

определенный в канторовом пространстве $\{0,1\}^{\mathbb {N} }.$ Стандартное отображение канторова пространства в единичный интервал определяется выражением

$(b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}$

Это отображение представляет собой сохраняющий меру гомоморфизм канторового множества в единичный интервал, поскольку оно отображает стандартную меру Бернулли на канторовом множестве в меру Лебега на единичном интервале. Визуализация одометра и его первых трех итераций появляется справа.

Высшие измерения

Двухмерные и более многомерные обобщения включают замены многоугольников, замены многогранников и кусочные изометрии .

См. также

• Одометр

Ссылки

• Артур Авила и Джованни Форни, Слабое смешивание для преобразований обмена интервалами и потоков трансляции , arXiv:math/0406326v1, https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326