Синхронизация хаоса

Синхронизация хаоса — это явление, которое может возникнуть при двух или более диссипативных хаотических систем соединении .

Из-за экспоненциального расхождения ближайших траекторий хаотических систем синхронное развитие двух хаотических систем может показаться удивительным. Однако синхронизация связанных или управляемых хаотических осцилляторов — явление, хорошо установленное экспериментально и достаточно хорошо изученное теоретически.

Стабильность синхронизации для связанных систем можно проанализировать с помощью основной стабильности . Синхронизация хаоса — это богатое явление и междисциплинарная тема с широким спектром приложений.

Синхронизация может принимать различные формы в зависимости от характера взаимодействующих систем, типа связи и близости между системами.

Идентичная синхронизация

Этот тип синхронизации также известен как полная синхронизация. Это можно наблюдать для одинаковых хаотических систем. Говорят, что системы полностью синхронизированы, когда существует набор начальных условий, так что системы в конечном итоге эволюционировать одинаково во времени. В простейшем случае двух диффузионно связанных динамика описывается

$x^{\prime }=F(x)+\alpha (y-x)$

$y^{\prime }=F(y)+\alpha (x-y)$

где $F$ векторное поле, моделирующее изолированную хаотическую динамику и $\alpha$ является параметром связи.Режим $x(t)=y(t)$ определяет инвариантное подпространство связанной системы, если это подпространство $x(t)=y(t)$ является локально привлекательны, то связанные системы демонстрируют одинаковую синхронизацию.

Если связь исчезает, осцилляторы развязываются, и хаотическое поведение приводит к расхождению ближайших траекторий. Полная синхронизация происходит за счет взаимодействия, если параметр связи достаточно велик, чтобы расхождение траекторий взаимодействующих систем из-за хаоса подавлялось диффузионной связью. Для нахождения критической силы связи изучаем поведение разности $v=x-y$. Предполагая, что $v$ является Если мы малы, мы можем последовательно разложить векторное поле и получить линейное дифференциальное уравнение, пренебрегая остатком Тейлора, определяющее поведение разности.

$v^{\prime }=DF(x(t))v-2\alpha v$

где $DF(x(t))$ обозначает якобиан векторного поля вдоль решения. Если $\alpha =0$ тогда мы получаем

$u^{\prime }=DF(x(t))u,$

и поскольку динамика хаотична, мы имеем $\|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}$, где $\lambda$ обозначает максимальный показатель Ляпунова изолированной системы. Теперь использую анзац $v=ue^{-2\alpha t}$переходим от уравнения для $v$ к уравнению для $u$. Таким образом, мы получаем

$\|v(t)\|\leq \|u(0)\|e^{(-2\alpha +\lambda )t}$

обеспечить критическую прочность сцепления $\alpha _{c}=\lambda /2$, для всех $\alpha >\alpha _{c}$ система демонстрирует полную синхронизацию. Существование критической силы связи связано с хаотичным характером изолированной динамики.

В общем, эти рассуждения приводят к правильному критическому значению связи для синхронизации. Однако в некоторых случаях можно наблюдайте потерю синхронизации при силах связи, превышающих критическое значение. Это происходит потому, что нелинейные членыпренебрежение при выводе критического значения связи может сыграть важную роль и разрушить экспоненциальную границу для поведение разницы. Однако возможно строго подойти к этой проблеме и получить критическое значение, при котором нелинейности не влияют на стабильность.

Обобщенная синхронизация

Этот тип синхронизации происходит главным образом тогда, когда связанные хаотические осцилляторы различны, хотя сообщалось также и между идентичными осцилляторами. Учитывая динамические переменные $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ и $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ определяющие состояние осцилляторов, обобщенная синхронизация происходит при наличии функционала, $\phi$, такой, что после временной эволюции из соответствующих начальных условий $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$. Это означает, что динамическое состояние одного из осцилляторов полностью определяется состоянием другого. Когда генераторы взаимно связаны, этот функционал должен быть обратимым; если существует конфигурация отклика возбуждения, привод определяет эволюцию отклика, и Φ не обязательно должен быть обратимым. Идентичная синхронизация — это частный случай обобщенной синхронизации, когда $\phi$ это личность.

Фазовая синхронизация

Фазовая синхронизация происходит, когда связанные хаотические осцилляторы сохраняют ограниченную разность фаз, в то время как их амплитуды остаются некоррелированными.Это явление происходит, даже если генераторы не идентичны. Наблюдение фазовой синхронизации требует предварительного определения фазы хаотического осциллятора. Во многих практических случаях в фазовом пространстве можно найти плоскость, в которой проекция траекторий осциллятора следует вращению вокруг четко определенного центра. В этом случае фаза определяется углом φ(t), описываемым отрезком, соединяющим центр вращения и проекцию точки траектории на плоскость. В других случаях все еще возможно определить фазу с помощью методов, предусмотренных теорией обработки сигналов , таких как преобразование Гильберта . В любом случае, если φ ₁ (t) и φ ₂ (t) обозначают фазы двух связанных осцилляторов, синхронизация фазы задается соотношением nφ ₁ (t) = mφ ₂ (t) с m и n целыми цифры.

Ожидаемая синхронизация и задержка

В этих случаях синхронизированное состояние характеризуется интервалом времени τ таким, что динамические переменные осцилляторов $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ и $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$, связаны $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$; это означает, что динамика одного из осцилляторов следует или предвосхищает динамику другого. Ожидаемая синхронизация может произойти между хаотическими генераторами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с задержкой , связанными в конфигурации отклика возбуждения. В этом случае реакция предвосхищает динамику диска. Синхронизация с запаздыванием может возникнуть, когда увеличивается сила связи между фазосинхронизированными генераторами.

Синхронизация огибающей амплитуды

Это мягкая форма синхронизации, которая может возникнуть между двумя слабосвязанными хаотическими осцилляторами. В этом случае корреляция между фазами и амплитудами отсутствует; вместо этого колебания двух систем образуют периодическую огибающую, которая имеет одинаковую частоту в двух системах.

Это имеет тот же порядок, что и разница между средними частотами колебаний двух хаотических осцилляторов. Часто синхронизация огибающей амплитуды предшествует фазовой синхронизации в том смысле, что когда сила связи между двумя синхронизированными огибающими амплитуды генераторами увеличивается, развивается фазовая синхронизация.

Все эти формы синхронизации обладают свойством асимптотической устойчивости. Это означает, что как только синхронизированное состояние достигнуто, эффект небольшого возмущения, разрушающего синхронизацию, быстро затухает, и синхронизация восстанавливается снова. Математически асимптотическая устойчивость характеризуется положительным показателем Ляпунова системы, состоящей из двух осцилляторов, который становится отрицательным при достижении хаотической синхронизации.

Некоторые хаотические системы позволяют еще сильнее контролировать хаос , и как синхронизация хаоса, так и контроль над хаосом составляют части того, что известно как « кибернетическая физика ».

Ссылки

• Пиковский, А.; Розамблюм, М.; Куртс, Дж. (2001). Синхронизация: универсальная концепция нелинейных наук . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-53352-2 .
• Гонсалес-Миранда, JM (2004). Синхронизация и управление хаосом. Введение для ученых и инженеров . Издательство Имперского колледжа . ISBN  978-1-86094-488-8 .
• Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: от управления хаосом к квантовому управлению. Springer-Verlag, 2007, (Предварительная русскоязычная версия: СПб, Наука, 2003) .

См. также

• Модель Курамото