Модель Курамото

Модель Курамото (или модель Курамото–Дайдо ), впервые предложенная Ёсики Курамото ( Курамото Юки , Курамото Йошики ) , — это математическая модель, используемая для описания синхронизации . Точнее, это модель поведения большого набора связанных осцилляторов . Его формулировка была мотивирована поведением систем химических и биологических осцилляторов, и она нашла широкое применение в таких областях, как нейробиология. и колеблющаяся динамика пламени. Курамото был весьма удивлен, когда поведение некоторых физических систем, а именно связанных массивов джозефсоновских переходов , последовало его модели.

Модель делает несколько предположений, в том числе о слабой связи, о том, что осцилляторы идентичны или почти идентичны, и что взаимодействия синусоидально зависят от разности фаз между каждой парой объектов.

Определение

Duration: 1 minute and 1 second.1:01

Фазовая синхронизация в модели Курамото

В наиболее популярной версии модели Курамото считается, что каждый из генераторов имеет собственную собственную частоту. $\omega _{i}$, и каждый из них одинаково связан со всеми остальными генераторами. Удивительно, но эту полностью нелинейную модель можно решить точно в пределе бесконечных осцилляторов, N → ∞; альтернативно, используя аргументы самосогласованности, можно получить стационарные решения параметра порядка. Самая популярная форма модели имеет следующие основные уравнения:

${\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}K_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N$,

где система состоит из N генераторов предельного цикла с фазами $\theta _{i}$ и константа K. связи

В систему может быть добавлен шум. В этом случае исходное уравнение заменяется на

${\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\zeta _{i}+{\dfrac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})$,

где $\zeta _{i}$ это колебание и функция времени. Если шум считать белым шумом, то

$\langle \zeta _{i}(t)\rangle =0$ ,

$\langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')$

с $D$ обозначающий силу шума.

Трансформация

Преобразование, позволяющее точно решить эту модель (по крайней мере, в пределе N → ∞), заключается в следующем:

Определим параметры «порядка» r и ψ как

$re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta _{j}}$.

Здесь r представляет фазовую когерентность совокупности осцилляторов, а ψ указывает на среднюю фазу. Подстановка в уравнение дает

${\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+Kr\sin(\psi -\theta _{i})$.

Таким образом, уравнения осцилляторов больше не связаны явно; вместо этого параметры порядка управляют поведением. Обычно выполняется дальнейшее преобразование во вращающуюся систему отсчета, в которой среднее статистическое значение фаз по всем осцилляторам равно нулю (т. е. $\psi =0$). Наконец, основное уравнение принимает вид

${\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-Kr\sin(\theta _{i})$.

Большой N предел

Теперь рассмотрим случай, когда N стремится к бесконечности. Возьмем распределение собственных собственных частот как g ( ω ) (предполагается нормализованным ). Затем предположим, что плотность осцилляторов на данной фазе θ с заданной собственной частотой ω в момент времени t равна $\rho (\theta ,\omega ,t)$. Нормализация требует, чтобы

$\int _{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta =1.$

Уравнение непрерывности для плотности осцилляторов будет иметь вид

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho v]=0,$

где v - скорость дрейфа осцилляторов, заданная путем принятия предела бесконечного N в преобразованном основном уравнении, такая, что

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho \omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0.$

Наконец, определение параметров порядка должно быть переписано для непрерывного (бесконечного N ) предела. $\theta _{i}$ необходимо заменить его средним по ансамблю (по всем $\omega$) и сумму необходимо заменить интегралом, чтобы получить

$re^{i\psi }=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\theta }\int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )\,d\omega \,d\theta .$

Решения для большого N предела

Некогерентное состояние со случайным дрейфом всех осцилляторов соответствует решению $\rho =1/(2\pi )$. В этом случае $r=0$, и между осцилляторами нет когерентности. Они равномерно распределены по всем возможным фазам, и совокупность находится в статистическом устойчивом состоянии (хотя отдельные осцилляторы продолжают менять фазу в соответствии со своим собственным ω ).

Когда связь K достаточно сильная, возможно полностью синхронизированное решение. В полностью синхронизированном состоянии все генераторы имеют общую частоту, хотя их фазы могут быть разными.

Решение для случая частичной синхронизации дает состояние, в котором синхронизируются только некоторые осцилляторы (близкие к средней собственной частоте ансамбля); другие осцилляторы дрейфуют бескогерентно. Математически государство имеет

$\rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin \left({\frac {\omega }{Kr}}\right)\right)$

для синхронизированных генераторов и

$\rho ={\frac {\rm {normalization\;constant}}{(\omega -Kr\sin(\theta -\psi ))}}$

для дрейфующих осцилляторов. Обрыв происходит, когда $|\omega |<Kr$.

Когда $g$ является унимодальным и симметричным, то устойчивое решение для системы имеет вид $$r=rK\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta g(Kr\sin \theta )d\theta$$По мере увеличения связи возникает критическое значение $K_{c}=2/\pi g(0)$ такое, что когда $K<K_{c}$, долгосрочное среднее значение $r=0$, но когда $K=K_{c}(1+\mu )$, где $\mu >0$ мал, то $r\approx {\sqrt {\frac {16}{\pi K_{\mathrm {c} }^{3}}}}{\sqrt {\frac {\mu }{-g^{\prime \prime }(0)}}}$.

Маленькие N случаев

Когда N мало, приведенные выше решения не работают, поскольку нельзя использовать континуальное приближение.

Случай N=2 тривиален. Во вращающейся рамке $\omega _{1}=-\omega _{2}$, и поэтому система описывается именно углом между двумя осцилляторами: $\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}$. Когда $K<K_{c}=2|\omega _{1}|$, угол циклически вращается по окружности (то есть быстрый осциллятор продолжает вращаться вокруг медленного осциллятора). Когда $K>K_{c}$, угол попадает в стабильный аттрактор (то есть два осциллятора синхронизируются по фазе). Аналогично, пространство состояний в случае N=3 представляет собой двумерный тор, и поэтому система развивается как поток на 2-торе, который не может быть хаотичным.

Хаос впервые возникает, когда N=4. Для некоторых настроек $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},K$, система имеет странный аттрактор .

Связь с гамильтоновыми системами

Содержится диссипативная модель Курамото. в некоторых консервативных гамильтоновых системах с гамильтонианом вида

${\mathcal {H}}(q_{1},\ldots ,q_{N},p_{1},\ldots ,p_{N})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\omega _{i}}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})$

После канонического преобразования к переменным действия-угла с действиями $I_{i}=\left(q_{i}^{2}+p_{i}^{2}\right)/2$ и углы (фазы) $\phi _{i}=\mathrm {arctan} \left(q_{i}/p_{i}\right)$точная динамика Курамото возникает на инвариантных многообразиях постоянных $I_{i}\equiv I$. С преобразованным гамильтонианом

${\mathcal {H'}}(I_{1},\ldots I_{N},\phi _{1}\ldots ,\phi _{N})=\sum _{i=1}^{N}\omega _{i}I_{i}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin(\phi _{j}-\phi _{i}),$

Уравнение движения Гамильтона принимает вид

${\frac {dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial \phi _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\sqrt {I_{k}I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\cos(\phi _{k}-\phi _{i})$

и

${\frac {d\phi _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial I_{i}}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[2{\sqrt {I_{i}I_{k}}}\sin(\phi _{k}-\phi _{i})\right.\left.+{\sqrt {I_{k}/I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\sin(\phi _{k}-\phi _{i})\right].$

Итак, многообразие с $I_{j}=I$ является инвариантным, поскольку ${\frac {dI_{i}}{dt}}=0$ и фазовая динамика ${\frac {d\phi _{i}}{dt}}$ становится динамикой модели Курамото (с теми же константами связи для $I=1/2$). Класс гамильтоновых систем характеризует некоторые квантово-классические системы, в том числе и бозе-эйнштейновские конденсаты .

Вариации моделей

Отчетливые закономерности синхронизации в двумерной решетке генераторов типа Курамото с различными функциями фазового взаимодействия и топологиями пространственной связи. (А) Вертушки. (Б) Волны. (С) Химеры. (D) Химеры и волны вместе взятые. Цветовая шкала указывает фазу осциллятора.

Существует ряд типов вариаций, которые можно применить к исходной модели, представленной выше. Некоторые модели меняют топологическую структуру, другие допускают неоднородные веса, а третьи изменения больше связаны с моделями, вдохновленными моделью Курамото, но не имеющими такой же функциональной формы.

Варианты топологии сети

Помимо исходной модели, которая имеет топологию «все-все», достаточно плотная сложная топология, подобная сети, поддается обработке среднего поля, используемой при решении исходной модели. ( см. в разделе «Преобразование и большой N» предел дополнительную информацию выше). Сетевые топологии, такие как кольца и связанные популяции, поддерживают химеры. Можно также задаться вопросом о поведении моделей, в которых есть локальные по своей сути, например, одномерные топологии, прототипами которых являются цепь и кольцо. В таких топологиях, в которых связь не масштабируется согласно 1/ N , невозможно применить канонический подход среднего поля, поэтому приходится полагаться на индивидуальный анализ, используя симметрии всякий раз, когда это возможно. , что может дать основу для абстрагирования общих принципов решения.

Равномерную синхронность, волны и спирали можно легко наблюдать в двумерных сетях Курамото с диффузной локальной связью. Устойчивость волн в этих моделях может быть определена аналитически с использованием методов анализа устойчивости Тьюринга. Равномерная синхронность имеет тенденцию быть стабильной, когда локальная связь везде положительна, тогда как волны возникают, когда дальние связи отрицательны (тормозящая окружающая связь). Волны и синхронность связаны топологически отдельной ветвью решений, известной как пульсация. Это малоамплитудные пространственно-периодические отклонения, выходящие из однородного состояния (или волнового состояния) через бифуркацию Хопфа . Существование пульсирующих решений было предсказано (но не обнаружено) Уайли, Строгацем и Гирваном . который назвал их мультискрученными q-состояниями.

Топологию, на которой изучается модель Курамото, можно сделать адаптивной. с использованием фитнес-модели, показывающей улучшение синхронизации и просачивания самоорганизованным способом.

Граф с минимальной степенью не ниже $d_{min}\geq 0.5\ n$ тем не менее будет подключен для синхронизации графа требуется еще немного, для такого случая известно, что существует критический порог связности $\mu _{c}$ такой, что любой граф на $n$ узлы с минимальной степенью $d_{min}\geq \mu _{c}(n-1)$ необходимо глобально синхронизировать. $n$ достаточно большой. Минимальный максимум известно, лежат между $0.6875\leq \mu _{c}\leq 0.75$.

Аналогично известно, что графы Эрдеша-Реньи с вероятностью ребер точно $p=(1+\epsilon )\ln(n)/n$ как $n$ стремится к бесконечности, будет связано, и было высказано предположение что это значение также является числом, при котором эти случайные графики подвергаются синхронизации, что, как утверждается в препринте 2022 года, было доказано.

Вариации топологии сети и веса сети: от координации транспортных средств до синхронизации мозга

Метрономы , изначально находящиеся в противофазе, синхронизируются за счет небольших движений основания, на котором они расположены. Было показано, что эта система эквивалентна модели Курамото.

Некоторые работы в области управления были сосредоточены на модели Курамото в сетях с неоднородными весами (т. е. сила связи между любыми двумя генераторами может быть произвольной). Динамика данной модели выглядит следующим образом:

${\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\sum _{j=1}^{N}a_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N$

где $a_{ij}$ является ненулевым положительным действительным числом, если осциллятор $j$ подключен к генератору $i$. Такая модель позволяет более реалистично изучать, например, стадирование, обучение и координацию транспортных средств. В работе Дёрфлера и его коллег несколько теорем обеспечивают строгие условия фазовой и частотной синхронизации этой модели. Дальнейшие исследования, мотивированные экспериментальными наблюдениями в области нейробиологии, сосредоточены на получении аналитических условий для кластерной синхронизации гетерогенных осцилляторов Курамото в произвольных сетевых топологиях. Поскольку модель Курамото, по-видимому, играет ключевую роль в оценке явлений синхронизации в мозге, теоретические условия, подтверждающие эмпирические данные, могут проложить путь к более глубокому пониманию феномена синхронизации нейронов.

Вариации функции фазового взаимодействия

Курамото аппроксимировал фазовое взаимодействие между любыми двумя осцилляторами его первой компонентой Фурье, а именно $\Gamma (\phi )=\sin(\phi )$, где $\phi =\theta _{j}-\theta _{i}$. Лучшие аппроксимации можно получить, включив компоненты Фурье более высокого порядка:

$\Gamma (\phi )=\sin(\phi )+a_{1}\sin(2\phi +b_{1})+...+a_{n}\sin(2n\phi +b_{n})$,

где параметры $a_{i}$ и $b_{i}$ необходимо оценить. Например, синхронизацию между сетью слабосвязанных нейронов Ходжкина-Хаксли можно воспроизвести с помощью связанных осцилляторов, которые сохраняют первые четыре компонента Фурье функции взаимодействия. Введение членов фазового взаимодействия более высокого порядка может также вызвать интересные динамические явления, такие как частично синхронизированные состояния. гетероклинические циклы , и хаотическая динамика .

Доступность

• Библиотека pyclustering включает реализацию модели Курамото на Python и C++ и ее модификации. Также библиотека состоит из колебательных сетей (для кластерного анализа, распознавания образов, раскраски графиков, сегментации изображений), основанных на модели Курамото и фазового генератора.

См. также

• Основная функция стабилизации
• Колебательная нейронная сеть
• Фазовая автоподстройка частоты
• Свармалаторы