Свармалаторы

Свармалаторы являются обобщениями фазовых осцилляторов которые роятся в пространстве, синхронизируясь во времени. Они были представлены для моделирования разнообразных систем реального мира, которые одновременно синхронизируются и роятся, таких как уксусные угри, магнитные доменные стенки, и японские древесные лягушки. Более формально, это динамические единицы с пространственными степенями свободы и внутренними степенями свободы, динамика которых связана.

Примеры из реального мира

Роение встречается в различных частях природы и техники, некоторые из которых обсуждаются ниже. На рисунке справа показаны некоторые примеры на графике (дисциплина, количество частиц).

Примеры роевиков реального мира, построенных на плоскости (дисциплина, количество частиц).

Биологические микропловцы . Сперматозоиды , уксусные угри и, возможно, другие пловцы, такие как Celegans, роятся в космосе, ритмично взмахивая хвостами. Это биение может синхронизироваться с биением соседнего пловца посредством гидродинамической связи, что, в свою очередь, вызывает пространственное притяжение; ссылки синхронизации для самостоятельной сборки. Это может привести к образованию вихревых массивов, поезда метахрональные волны и другие коллективные эффекты.

Магнитные доменные стенки являются ключевыми особенностями в области магнетизма и материаловедения, определяемыми границей между различными магнитными доменами в ферромагнитных материалах. Эти домены представляют собой области внутри материала, где магнитные моменты атомов ориентированы в одном направлении, создавая однородное магнитное поле. Они имеют большие перспективы в качестве устройств памяти в спинтронике следующего поколения . В упрощенном виде $q,\phi$ модель, доменную стенку можно описать ее центром масс $q$ и угол в плоскости $\phi$ вектора магнитного диполя, тем самым классифицируя их как роевики. Эксперименты показывают, что взаимодействие между двумя такими доменными стенками приводит к богатому пространственно-временному поведению, часть которого фиксируется одномерной моделью роя, указанной выше.

Японские древесные лягушки . Во время брачных ритуалов самцы японских квакш привлекают внимание самок ритмичным кваканьем. Соседние самцы склонны чередовать кваканье (кваканье $\pi$ степень несовпадения по фазе), чтобы не «переговариваться друг с другом». Доказательство предполагает, что эта (анти)синхронизация влияет на пространственную динамику между лягушками, делая их роевыми.

Частицы Януса представляют собой сферические частицы, одно полушарие которых покрыто магнитным веществом, а другое остается немагнитным. Они названы в честь римского бога Януса двуликого . Эта анизотропия придает частицам необычные магнитные свойства. Под воздействием внешних магнитных полей векторы их магнитных диполей начинают колебаться, что вызывает движения и соединяется с ними (таким образом, их можно назвать роевыми). Результирующая «синхронно выбранная самосборка» порождает новую надстройку с потенциальным использованием в контексте биомедицины, такой как адресная доставка лекарств, биовизуализация и биосенсорство.

Ролики Квинке представляют собой класс активных частиц, которые демонстрируют самодвижущееся движение в жидкости из-за электрогидродинамического явления, известного как эффект Квинке. Этот эффект возникает, когда диэлектрическая (непроводящая) частица находится под действием электрического поля. Вращение частицы в сочетании с фрикционным взаимодействием с окружающей жидкостью и поверхностью приводит к движению качения. Таким образом, частица имеет фазу $\theta$ и позиция $x$ какая пара, как того требует свармалатор. Коллекции роликов Квинке создают богатое эмерджентное поведение, такое как волны активности. и ударные волны.

Эмбриональные клетки — это основные строительные блоки эмбриона, которые подвергаются делению и дифференцировке, образуя сложные структуры организма. Эти клетки обладают замечательной пластичностью, позволяющей им трансформироваться в широкий спектр специализированных типов клеток. В контексте роевиков эмбриональные клетки демонстрируют уникальное сочетание синхронизации и роевого поведения. Они координируют свои движения и модели генетической экспрессии в ответ на различные сигналы — процесс, необходимый для правильного формирования тканей и развития органов. Эта связь синхронизации и самосборки делает эмбриональные клетки убедительным примером реальных роевиков.

Рои роботов . Созданы наземные вездеходы, а также воздушные дроны, оснащенные моделями роевиков. и воссоздал пять коллективных состояний модели свармалатора (график этих состояний см. в разделе «Математические модели»). Соединение синхронизации и роения определяет новый тип биоинспирированного алгоритма, который имеет несколько потенциальных применений.

2D модель роялатора

Предложена математическая модель движения роевиков в 2D. Эта 2D-модель свармалатора в общей форме:

${\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{i}&=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}I_{att}(x_{j}-x_{i})F(\theta _{j}-\theta _{i})-I_{rep}(x_{j}-x_{i})\\{\dot {\theta }}_{i}&=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}G_{sync}(\theta _{j}-\theta _{i})H(x_{j}-x_{i})\end{array}}$

Пространственная динамика сочетает в себе парное взаимодействие $I_{att}$ с попарно $I_{rep}$, который производит роение/агрегацию. Новизна заключается в том, что притяжение модифицируется фазовым членом. $F$; таким образом, агрегация становится фазозависимой. Аналогично, фазовая динамика содержит синхроимпульс $G_{sync}$ модифицируется пространственным термином, поэтому синхронизация становится зависимой от положения. Короче говоря, роевики моделируют взаимодействие между самосинхронизацией и самосборкой в ​​пространстве.

Хотя в целом положение может быть в 2D или 3D, первоначально представленный экземпляр модели роя является 2D-моделью. $x\in \mathbb {R} ^{2}$ и выбор для $I_{att}(x),I_{rep}(x)$ и т. д. были

${\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{i}&=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}{\frac {(x_{j}-x_{i})}{|x_{j}-x_{i}|}}\left(1+J\cos(\theta _{j}-\theta _{i})\right)-{\frac {x_{j}-x_{i}}{|x_{j}-x_{i}|^{2}}}\\{\dot {\theta }}_{i}&=&{\frac {K}{N}}\sum _{j}{\frac {\sin(\theta _{j}-\theta _{i})}{|x_{j}-x_{i}|}}\end{array}}$

Есть два параметра $J$ и $K$ параметры: $J$ контролирует силу притяжения/отталкивания в фазовом пространстве, в то время как $K$ описывает силу связи фаз. Вышеупомянутое можно рассматривать как объединение модели агрегации, введенной из биологического роения. (пространственная часть) и модель фазовых осцилляторов Курамото (фазовая часть).

Явления

Рисунок 1: Изображение пяти коллективных состояний модели роя.

Приведенная выше модель создает 5 коллективных состояний, изображенных на рисунке 1 ниже.

• Статическая синхронизация: Свармалаторы образуют диск в пространстве и полностью синхронизированы по фазе.
• Статическая асинхронность: Свармалаторы образуют диск в пространстве и полностью асинхронны по фазе.
• Статическая фазовая волна: Свармалаторы образуют в пространстве кольцо с полной фазовой волной (например, полное цветовое колесо или радугу).
• Расколотая фазовая волна: Фазовая волна распадается на группы синхронных роевиков. Внутри каждого кластера роевики совершают периодические движения в пространстве и фазе.
• Активная фазовая волна: Свармалаторы вращаются в пространственно-фазовом вихре, половина которого движется по часовой стрелке, а оставшаяся половина — против часовой стрелки.

Чтобы определить, где каждое состояние возникает и исчезает при изменении параметров, параметры радужного порядка:

${\begin{array}{rcl}W_{\pm }&=&S_{\pm }e^{i\phi _{\pm }}=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}e^{i(\phi _{j}-\theta _{i})}\end{array}}$

Рисунок 2: Параметры порядка радуги и $\gamma$ может различать различные коллективные состояния. Определения этих величин см. в основном тексте.

где $\phi _{i}:=\arctan(y_{i}/x_{i})$ используются. Рис. 2. Графики $S_{\pm }$ против $K$ для фиксированного $J$. Как можно видеть, $S_{+}=1$ в радужном состоянии статической фазированной волны (при $K$ = 0), а затем уменьшается как $K$ уменьшается. Параметр второго порядка $\gamma$, определяемый как доля роумалаторов, завершивших хотя бы один цикл в пространстве и фазе после переходных процессов, также нанесен на график, который может различать состояния активной фазовой волны и состояния расщепленной фазовой волны.

Пазлы

Есть несколько нерешенных загадок и открытых вопросов, связанных с роевиками:

• Температура плавления $K_{m}(J)$: Какова ценность $K_{m}(J)$ при котором статическое асинхронное состояние переходит в активное фазовое волновое состояние?
• Точка разделения $K_{s}(J)$: В чем точка разделения $K_{s}$ при котором активная фазовая волна распадается на расщепленную фазовую волну?
• Параметры радужного порядка: можете ли вы вывести выражение для сверхкритической ветви $S_{\pm }(K)$ для фиксированного $J$ в состояниях активной фазовой волны и расщепленной фазовой волны?
• $N_{c}$: Что определяет количество кластеров, образующихся в расщепленной фазовой волне?

1D модель роялатора

Упрощенная модель роевика, в которой пространственное движение ограничено одномерным кольцом. $x_{i}\in \mathbb {S} ^{1}$ также было предложено

${\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{i}&=\nu _{i}+{\frac {J}{N}}\sum _{j}\sin(x_{j}-x_{i})\cos(\theta _{j}-\theta _{i})\\{\dot {\theta }}_{i}&=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})\cos(x_{j}-x_{i})\end{array}}$

где $\nu _{i},\omega _{i}$ являются (случайными) собственными частотами i-го роевика и извлекаются из определенных распределений $g(.)$. Эта 1D-модель соответствует угловому компоненту 2D-модели роевика. Ограничение этой более простой топологией позволяет провести более глубокий анализ. Например, модель с собственными частотами можно решить, определив координаты суммы/разности. $\xi ,\eta =x_{i}\pm \theta _{i}$ модель упрощается до пары линейно связанных моделей Курамото

${\begin{array}{rcl}{\dot {\xi }}_{i}&=\omega _{+,i}+J_{+}S_{+}\sin(\phi _{+}-\xi )+J_{-}S_{-}\sin(\phi _{-}-\eta )\\{\dot {\eta }}_{i}&=\omega _{-,i}+J_{-}S_{+}\sin(\phi _{+}-\xi )+J_{+}S_{-}\sin(\phi _{-}-\eta )\end{array}}$

где $J_{\pm }=(J\pm K)/2$, $\omega _{\pm }=\nu \pm \omega$ а параметры порядка радуги эквивалентны 2D-модели.

${\begin{array}{rcl}W_{\pm }=S_{\pm }e^{i\phi _{\pm }}:=N^{-1}\sum _{j}e^{i(x_{j}\pm \theta _{j})}\\\end{array}}$

Коллективные состояния одномерной модели роевика, где роевики изображены точками на рисунке. $(x,\theta )$ самолет.

Верхняя строка, параметр порядка синхронизации. $R$ в зависимости от силы связи фаз $K$ для модели Курамото с собственными частотами Коши с нулевым центром и единичной шириной. Нижний ряд, параметры радужного порядка. $S_{\pm }$ для 1D-модели роевика также с единичными собственными частотами Коши и $J=9$. Черные пунктирные линии обозначают переходы между асинхронным состоянием, фазовой волной и смешанным состоянием в указанном порядке. Данные собирались с помощью решателя RK4 с временным шагом. $dt=0.1$ для $T=200$ единицы времени с $N=10^{6}$ роймалаторы.

Для унимодального распределения $\omega ,\nu$ например, распределение Коши, модель демонстрирует четыре коллективных состояния, изображенных на рисунке справа.

• Асинхронный или $(S_{+},S_{-})=(0,0)$ состояние. Свормалаторы не проявляют никакой когерентности ни в пространстве, ни в фазе, будучи распределены равномерно по положению и фазе. Это состояние характеризуется отсутствием какой-либо синхронизации или пространственной кластеризации среди роевиков, о чем свидетельствуют нулевые значения обоих параметров порядка. $S_{+}=S_{-}=0$.
• Фазовая волна или $(S_{+},S_{-})=(S,0)$ состояние. В состоянии фазовой волны роевики образуют полосу или волновую структуру с положением $x_{i}$ и фаза $\theta _{i}$ коррелируют. Волна может двигаться как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
• Смешанная или $(S_{+},S_{-})=(S_{1},S_{2})$ состояние. Сварамлаторы снова образуют фазовую волну, но теперь волна искажается, образуя два грубых кластера; таким образом, это смесь фазовой волны и состояния синхронизации (описанного ниже).
• Синхронизировать или $(S_{+},S_{-})=(S,S)$ состояние. Свармалаторы образуют два синхронных кластера как в пространстве, так и в фазе. Одиночные кластерные состояния формируются при некоторых начальных условиях.

Обратите внимание, что в каждом штате роевики разделились на заблокированные/дрейфующие подгруппы, как и в модели Курамото. Запертая популяция — это более плотные области на рисунке, дрейфующие — светло-серые области.

На рисунке справа показано сравнение бифуркаций модели Курамото с бифуркациями одномерной модели роевика. Для модели Курамото (верхний ряд) параметр порядка синхронизации $R:=|\langle e^{i\theta }\rangle |$ выходит из асинхронного состояния ( $R=0$), а затем монотонно возрастает в состоянии синхронизации ( $R>0$). Для одномерной модели рояльщика бифуркации богаче. Начнем с фазовой связи $K<K_{c}$ и увеличивается, $S_{+},S_{-}$ выйти из асинхронного состояния ( $S_{+}=S_{-}=0$) к фазовой волне ( $S_{+}=S_{pw},S_{-}=0$), затем в смешанное состояние ( $S_{+},S_{-}=S_{1},S_{2}$), прежде чем окончательно оказаться в состоянии синхронизации ( $S_{+}=S_{-}=S_{sync}$). Обратите внимание, мы приняли $S_{+}>S_{-}$ без потери общности и $S,S_{1},S_{2}$ являются константами, которые зависят от $J,K\Delta$. Выражения для $S_{pw},S_{sync}$ были разработаны, те для $S_{1},S_{2}$ в смешанном состоянии неизвестны (см. [25]).