Основная функция стабилизации

В математике главная функция устойчивости — это инструмент, используемый для анализа устойчивости синхронного состояния в динамической системе, состоящей из множества идентичных систем, связанных вместе, таких как модель Курамото .

Настройка следующая. Рассмотрим систему с $N$ идентичные осцилляторы. Без связи они развиваются согласно одному и тому же дифференциальному уравнению , скажем ${\dot {x}}_{i}=f(x_{i})$ где $x_{i}$ обозначает состояние осциллятора $i$. Синхронное состояние системы осцилляторов – это когда все осцилляторы находятся в одном и том же состоянии.

Соединение определяется силой сцепления $\sigma$, матрица $A_{ij}$ который описывает, как осцилляторы связаны друг с другом, и функцию $g$ состояния отдельного осциллятора. Учет связи приводит к следующему уравнению:

${\dot {x}}_{i}=f(x_{i})+\sigma \sum _{j=1}^{N}A_{ij}g(x_{j}).$

Предполагается, что суммы строк $\sum _{j}A_{ij}$ исчезают, так что многообразие синхронных состояний нейтрально устойчиво.

Основная функция стабильности теперь определяется как функция, отображающая комплексное число. $\gamma$ к наибольшему показателю Ляпунова уравнения

${\dot {y}}=(Df+\gamma Dg)y.$

Синхронное состояние системы связанных осцилляторов устойчиво, если задающая функция устойчивости отрицательна при $\sigma \lambda _{k}$ где $\lambda _{k}$ пробегает собственные значения матрицы связи $A$.

Ссылки

• Аренас, Алекс; Диас-Гилера, Альберт; Куртс, Юрген; Морено, Ямир; Чжоу, Чансун (2008), «Синхронизация в сложных сетях», Physics Reports , 469 (3): 93–153, arXiv : 0805.2976 , Bibcode : 2008PhR...469...93A , doi : 10.1016/j.physrep. 2008.09.002 , S2CID   14355929 .
• Пекора, Луи М.; Кэрролл, Томас Л. (1998), «Основные функции устойчивости для синхронизированных связанных систем», Physical Review Letters , 80 (10): 2109–2112, Бибкод : 1998PhRvL..80.2109P , doi : 10.1103/PhysRevLett.80.2109 .