Мера Синая – Рюэля – Боуэна

В математической дисциплине эргодической теории мера Синая-Рюэля-Боуэна (SRB) является инвариантной мерой , которая ведет себя аналогично эргодической мере, но не является ею. Чтобы быть эргодичным, среднее по времени должно быть равно среднему по пространству почти для всех начальных состояний. $x\in X$, с $X$ являющееся фазовым пространством . Для меры SRB $\mu$, достаточно, чтобы условие эргодичности выполнялось для начальных состояний множества $B(\mu )$ положительной меры Лебега .

Первоначальные идеи, относящиеся к мерам SRB, были введены Яковом Синаем , Дэвидом Рюэлем и Руфусом Боуэном в менее общей области диффеоморфизмов Аносова и аксиомных аттракторов .

Определение

Позволять $T:X\rightarrow X$ быть картой . Тогда мера $\mu$ определено на $X$ является мерой SRB, если существуют $U\subset X$ положительной меры Лебега и $V\subset U$ с той же мерой Лебега, такой что:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}\varphi (T^{i}x)=\int _{U}\varphi \,d\mu$

для каждого $x\in V$ и каждая непрерывная функция $\varphi :U\rightarrow \mathbb {R}$.

Можно увидеть меру SRB $\mu$ как тот, который удовлетворяет выводам эргодической теоремы Биркгофа для меньшего набора, содержащегося в $X$.

мер

Следующая теорема устанавливает достаточные условия существования SRB-мер. В нем рассматривается случай аттракторов Аксиомы А, который проще, но его несколько раз распространяли на более общие сценарии.

Теорема 1: Позволять $T:X\rightarrow X$ быть $C^{2}$ диффеоморфизм с аттрактором аксиомы А ${\mathcal {A}}\subset X$. Предположим, что этот аттрактор неприводим , т. е. не является объединением двух других множеств, также инвариантных относительно $T$. Тогда существует единственная борелевская мера $\mu$, с $\mu (X)=1$, характеризуются следующими эквивалентными утверждениями:

1. $\mu$ является мерой SRB;
2. $\mu$ имеет абсолютно непрерывные меры, обусловленные неустойчивым многообразием и его подмногообразиями;
3. $h(T)=\int \log {{\bigl |}\det(DT)|_{E^{u}}{\bigr |}}\,d\mu$, где $h$ – энтропия Колмогорова–Синая , $E^{u}$ является неустойчивым многообразием и $D$ является дифференциальным оператором .

Также в этих условиях $\left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)$ является динамической системой, сохраняющей меру .

Также было доказано, что сказанное выше эквивалентно утверждению, что $\mu$ равно бесшумному предельному стационарному распределению цепи Маркова с состояниями $T^{i}(x)$. То есть считаем, что в каждую точку $x\in X$ связана вероятность перехода $P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)$ с уровнем шума $\varepsilon$ который измеряет степень неопределенности следующего состояния таким образом, что:

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)=\delta _{Tx}(\cdot ),$

где $\delta$ является мерой Дирака . Предел нулевого шума — это стационарное распределение этой цепи Маркова, когда уровень шума приближается к нулю. Важность этого состоит в том, что математически оно утверждает, что мера SRB является «хорошим» приближением к практическим случаям, когда существует небольшое количество шума. хотя ничего нельзя сказать о допустимом уровне шума.

См. также

• Квазиинвариантная мера
• Krylov–Bogolyubov theorem
• Мера Гиббса