Карта Бейкера

Пример меры , инвариантной относительно действия (неповернутой) карты пекаря: инвариантная мера . Применение карты пекаря к этому изображению всегда приводит к одному и тому же изображению.

В теории динамических систем представляет карта пекаря собой хаотическую карту единичного квадрата внутрь себя. Оно названо в честь операции замешивания теста , которую пекари применяют к тесту: тесто разрезают пополам, две половинки складывают друг на друга и сжимают.

Карту Бейкера можно понимать как оператор двустороннего сдвига бибесконечной решетчатой ​​модели с двумя состояниями . Карта пекаря топологически сопряжена с картой подковы . В физике цепочка связанных карт Бейкера может использоваться для моделирования детерминированной диффузии .

Как и во многих детерминированных динамических системах , карта пекаря изучается по ее действию на пространство функций, определенных на единичном квадрате. Карта пекаря определяет оператор в пространстве функций, известный как оператор переноса карты. Карта пекаря — это точно решаемая модель детерминированного хаоса , в которой собственные функции и собственные значения оператора переноса могут быть определены явно.

Формальное определение

Есть два широко используемых альтернативных определения карты пекаря. Одно определение сгибает или поворачивает одну из разрезанных половин перед ее соединением (аналогично карте подковы ), а другое — нет.

Сложенная карта пекаря действует на единичном квадрате как

$S_{\text{baker-folded}}(x,y)={\begin{cases}(2x,{\frac {y}{2}})&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\(2-2x,1-{\frac {y}{2}})&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}$

Если верхняя часть не перегнута, карту можно записать как

$S_{\text{baker-unfolded}}(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right).$

Сложенная карта пекаря — двухмерный аналог карты палатки.

$S_{\mathrm {tent} }(x)={\begin{cases}2x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\end{cases}}$

а развернутое отображение аналогично отображению Бернулли . Оба отображения топологически сопряжены. Карту Бернулли можно понимать как карту, которая постепенно удаляет цифры из двоичного разложения x . В отличие от карты палатки, карта пекаря обратима.

Характеристики

Карта пекаря сохраняет двумерную меру Лебега .

Повторное применение карты пекаря к точкам красного и синего цвета, изначально разделенным. После нескольких итераций красные и синие точки кажутся полностью смешанными.

Карта сильного перемешивания и топологически перемешивающая .

Оператор трансфера $U$ отображает функции на единичном квадрате на другие функции на единичном квадрате; это дано

$\left[Uf\right](x,y)=(f\circ S^{-1})(x,y).$

Продолжительность: 7 секунд. 0:07

Квадрат исходной единицы находится сверху, а внизу показан результат при перемещении квадрата слева направо.

Трансфер-оператор унитарен в гильбертовом пространстве функций , суммируемых с квадратом, на единичном квадрате. Спектр непрерывен, и поскольку оператор унитарен, собственные значения лежат на единичной окружности. Трансфер-оператор не унитарен на пространстве ${\mathcal {P}}_{x}\otimes L_{y}^{2}$ функций, полиномиальных по первой координате и интегрируемых с квадратом по второй. В этом пространстве он имеет дискретный, неунитарный, затухающий спектр.

В качестве оператора смены

Карту пекаря можно понимать как оператор двустороннего сдвига в символической динамике одномерной решетки. Рассмотрим, например, бибесконечную строку

$\sigma =\left(\ldots ,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots \right)$

где каждая позиция в строке может принимать одно из двух двоичных значений $\sigma _{k}\in \{0,1\}$. Действие оператора сдвига на эту строку

$\tau (\ldots ,\sigma _{k},\sigma _{k+1},\sigma _{k+2},\ldots )=(\ldots ,\sigma _{k-1},\sigma _{k},\sigma _{k+1},\ldots )$

то есть каждая позиция решетки сдвигается на единицу влево. Двубесконечная строка может быть представлена ​​двумя действительными числами. $0\leq x,y\leq 1$ как

$x(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{-k}2^{-(k+1)}$

и

$y(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k+1}2^{-(k+1)}.$

В этом представлении оператор сдвига имеет вид

$\tau (x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right)$

это видимая выше развернутая карта пекаря.

См. также

• Процесс Бернулли

Ссылки

• Хироши Х. Хасагава и Уильям К. Сапфир (1992). «Унитарность и необратимость в хаотических системах». Физический обзор А. 46 (12): 7401–7423. Бибкод : 1992PhRvA..46.7401H . CiteSeerX   10.1.1.31.9775 . дои : 10.1103/PhysRevA.46.7401 . ПМИД   9908090 .
• Рональд Дж. Фокс, «Построение основы Джордана для карты Бейкера», Chaos , 7 стр. 254 (1997) дои : 10.1063/1.166226
• Дин Дж. Дрибе, Полностью хаотические карты и нарушенная симметрия времени , (1999) Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, Нидерланды ISBN   0-7923-5564-4 (Изложение собственных функций карты Бейкера) .