Иррациональное вращение

Последовательность Штурма, созданная иррациональным вращением с тета=0,2882748715208621 и x=0,078943143

В математической теории динамических систем иррациональное вращение представляет собой отображение

T_{\theta }:[0,1]\rightarrow [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1,

где $θ$ — иррациональное число . При отождествлении окружности с R $/ Z или$ интервалом $[0, 1]$ со склеенными граничными точками это отображение становится поворотом окружности с на долю $θ$ полного оборота (т. е. на угол $2 πθ$ радиан). Поскольку $θ$ иррационально, вращение имеет бесконечный порядок в группе кругов , а отображение $T θ$ не имеет периодических орбит .

В качестве альтернативы мы можем использовать мультипликативную запись для иррационального вращения, введя отображение

T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\theta }(x)=xe^{2\pi i\theta }

Связь между аддитивными и мультипликативными обозначениями представляет собой групповой изоморфизм.

\varphi :([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \varphi (x)=xe^{2\pi i\theta }

.

Можно показать, что $φ$ является изометрией .

Существует сильное различие во вращении круга, которое зависит от того, является ли $θ$ рациональным или иррациональным. Рациональные вращения являются менее интересными примерами динамических систем, потому что, если $\theta ={\frac {a}{b}}$ и $\gcd(a,b)=1$ , затем $T_{\theta }^{b}(x)=x$ когда $x\in [0,1]$ . Также можно показать, что $T_{\theta }^{i}(x)\neq x$ когда $1\leq i<b$ .

Значение [ править ]

Иррациональные вращения представляют собой фундаментальный пример теории динамических систем . Согласно теореме Данжуа , каждый сохраняющий ориентацию $C 2$ -диффеоморфизм окружности с иррациональным вращения $θ$ сопряжен топологически T $числом θ$ . Иррациональное вращение — это , сохраняющее меру эргодическое преобразование , но оно не является перемешиванием . Отображение Пуанкаре для динамической системы, связанной со слоением Кронекера на торе с углом $θ >,$ представляет собой иррациональное вращение на $θ$ . C*-алгебры, связанные с иррациональными вращениями, известные как алгебры иррациональных вращений , широко изучались.

Свойства [ править ]

Если $θ$ иррационально, то орбита любого элемента из $[0, 1]$ при вращении $T θ$ плотна ] в $[0, 1$ . Следовательно, иррациональные вращения топологически транзитивны .
Иррациональные (и рациональные) вращения не являются топологически перемешивающими .
Иррациональные вращения однозначно эргодичны , а мера Лебега служит уникальной инвариантной вероятностной мерой.
Предположим, $[a, b] \subset [0, 1]$ . Поскольку $T θ$ эргодичен,
${\text{lim}}_{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\chi _{[a,b)}(T_{\theta }^{n}(t))=b-a$ .

Обобщения [ править ]

Вращение кругов является примером группового перевода .
Для общего сохраняющего ориентацию гомоморфизма $f$ группы $S 1$ себе мы называем гомеоморфизмом $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ подъем f $,$ если $\pi \circ F=f\circ \pi$ где $\pi (t)=t{\bmod {1}}$ . ^[1]
Вращение круга можно рассматривать как разделение круга на две части, которые затем меняются местами. Деление более чем на две части, которые затем переставляются друг с другом, называется преобразованием обмена интервалами .
Жесткие вращения компактных групп эффективно ведут себя как вращения круга; инвариантной мерой является мера Хаара .

Приложения [ править ]

Наклон произведений при вращении круга: в 1969 г. ^[2] Уильям А. Вич построил примеры минимальных и не однозначно эргодических динамических систем следующим образом: «Возьмите две копии единичной окружности и отметьте на каждой из них отрезок $J$ длины $2 πα$ в направлении против часовой стрелки с конечной точкой в 0. Теперь возьмем $θ.$ иррациональный и рассмотрим следующую динамическую систему: Начните с точки $p$ , скажем, в первом круге. Поверните против часовой стрелки на $2 πθ$ , пока орбита в первый раз не приземлится в $J$ , затем переключитесь на соответствующую точку во втором круге, поверните на $2 πθ,$ пока; когда точка в первый раз попадает в $J$ ; переключитесь обратно на первый круг и т. д. Вич показал, что если $θ$ иррационально, то существует иррациональное $α,$ для которого эта система минимальна, и мера Лебега не является однозначно эргодической». ^[3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Фишер, Тодд (2007). «Гомоморфизмы круга» (PDF) .
^ Вич, Уильям (август 1968 г.). «Теорема Кронекера-Вейля по модулю 2» . Труды Национальной академии наук . 60 (4): 1163–1164. Бибкод : 1968PNAS...60.1163V . дои : 10.1073/pnas.60.4.1163 . ПМК 224897 . ПМИД 16591677 .
^ Мазур, Ховард; Табачников, Серж (2002). «Рациональный бильярд и плоские структуры». В Хассельблатте, Б.; Каток, А. (ред.). Справочник по динамическим системам (PDF) . Том. Я. Эльзевир.

Дальнейшее чтение [ править ]

CE Сильва, Приглашение к эргодической теории , Студенческая математическая библиотека, том 42, Американское математическое общество , 2008 г. ISBN 978-0-8218-4420-5

[Fisher-1] Фишер, Тодд (2007). «Гомоморфизмы круга» (PDF) .

[Veech-2] Вич, Уильям (август 1968 г.). «Теорема Кронекера-Вейля по модулю 2» . Труды Национальной академии наук . 60 (4): 1163–1164. Бибкод : 1968PNAS...60.1163V . дои : 10.1073/pnas.60.4.1163 . ПМК 224897 . ПМИД 16591677 .

[Masur-3] Мазур, Ховард; Табачников, Серж (2002). «Рациональный бильярд и плоские структуры». В Хассельблатте, Б.; Каток, А. (ред.). Справочник по динамическим системам (PDF) . Том. Я. Эльзевир.

[1]

[2]

[3]