Номер вращения

Не путать с вращением (количеством) .

«Количество витков карты» перенаправляется сюда. Не путать с числом витков или числом витков .

В математике число вращения является инвариантом гомеоморфизмов ​ окружности ​ .

История

Впервые он был определен Анри Пуанкаре году в связи с прецессией перигелия в 1885 планетарной орбиты . Позже Пуанкаре доказал теорему, характеризующую существование периодических орбит с точки зрения рациональности числа вращения.

Определение

Предположим, что $f:S^{1}\to S^{1}$ ориентацию гомеоморфизмом окружности является сохраняющим $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} .$ Тогда f можно поднять до гомеоморфизма $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ реальной линии, удовлетворяющей

$F(x+m)=F(x)+m$

для каждого действительного числа x и любого целого числа m .

Число вращения f F определяется итераций терминах в :

$\omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}.$

Анри Пуанкаре доказал, что предел существует и не зависит от выбора начальной точки x . Лифт F уникален по модулю целых чисел, поэтому число вращения является четко определенным элементом $\mathbb {R} /\mathbb {Z} .$ он измеряет средний угол вращения вдоль орбит f Интуитивно понятно, что .

Пример

Если $f$ это вращение на $2\pi N$ (где $0<N<1$), затем

$F(x)=x+N,$

и его число вращения равно $N$ (ср. иррациональное вращение ).

Свойства

Число вращения инвариантно относительно топологической сопряженности и даже монотонной топологической полусопряженности : если f и g — два гомеоморфизма окружности и

$h\circ f=g\circ h$

для монотонного непрерывного отображения h круга в себя (не обязательно гомеоморфного) тогда f и g имеют одинаковые числа вращения. Его использовали Пуанкаре и Арно Данжуа для топологической классификации гомеоморфизмов окружности. Есть две различные возможности.

• Число вращения f — это рациональное число p/q (в самых низких терминах). Тогда f имеет периодическую орбиту , каждая периодическая орбита имеет период q и порядок точек на каждой такой орбите совпадает с порядком точек вращения на p/q . Более того, каждая прямая орбита f сходится к периодической орбите. То же самое верно и для обратных орбит, соответствующих итерациям f ^–1 , но предельные периодические орбиты в прямом и обратном направлениях могут быть разными.
• Число вращения f является иррациональным числом θ . Тогда f не имеет периодических орбит (это следует непосредственно из рассмотрения периодической точки x функции f ). Есть два подслучая.

1. Существует плотная орбита. В этом случае f топологически сопряжена с иррациональным поворотом на угол θ и все орбиты плотны . Данжуа доказал, что эта возможность всегда реализуется, когда f дважды непрерывно дифференцируема.
2. Существует канторово множество C , инвариантное относительно f . Тогда C — единственное минимальное множество и орбиты всех точек как в прямом, так и в обратном направлении сходятся C. к В этом случае f полусопряжено иррациональному повороту на θ полусопряжающее отображение h степени 1 постоянно на компонентах дополнения к C. , а

Число вращения непрерывно , если рассматривать его как отображение группы гомеоморфизмов (с C ⁰ топология) круга в круг.

См. также

• Круговая карта
• Диффеоморфизм Данжуа
• Раздел Пуанкаре
• Рецидив Пуанкаре
• Теорема Пуанкаре – Бендиксона

Ссылки

• Герман, Майкл Роберт (декабрь 1979 г.). «О дифференцируемом сопряжении диффеоморфизмов окружности к вращениям» . Математические публикации IHÉS (на французском языке). 49 :5–233. дои : 10.1007/BF02684798 . S2CID   118356096 . , а также SciSpace для файлов меньшего размера в формате PDF версии 1.3.

Внешние ссылки

• Михал Мисюревич (ред.). «Теория вращения» . Схоларпедия .
• Вайсштейн, Эрик В. «Число витков карты» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.