Теорема Пуанкаре – Бендиксона

В математике теорема Пуанкаре -Бендиксона представляет собой утверждение о долговременном поведении орбит непрерывных динамических систем на плоскости, цилиндре или двухсфере. ^{[ 1 ]}

Теорема

Учитывая дифференцируемую вещественную динамическую систему, на открытом подмножестве плоскости, каждое непустое компактное ω -предельное множество орбиты определенную , которое содержит только конечное число неподвижных точек, является либо ^{[ 2 ]}

точка фиксированная ,
периодическая орбита , или
связное множество, состоящее из конечного числа неподвижных точек вместе с гомоклиническими и гетероклиническими орбитами, соединяющими их.

Более того, существует не более одной орбиты, соединяющей разные фиксированные точки в одном направлении. Однако гомоклинических орбит, соединяющих одну неподвижную точку, может быть счетное количество.

Обсуждение

Более слабая версия теоремы была первоначально предложена Анри Пуанкаре ( 1892 ), хотя у него не было полного доказательства, которое позже было дано Иваром Бендиксоном ( 1901 ).

Непрерывные динамические системы, определенные на двумерных многообразиях, отличных от плоскости (цилиндра или двухсферы), а также те, которые определены на многообразиях более высокой размерности, могут иметь ω -предельные множества , которые игнорируют три возможных случая согласно правилу Пуанкаре. – Теорема Бендиксона. Например, на торе возможна повторяющаяся непериодическая орбита. ^{[ 3 ]} а трехмерные системы могут иметь странные аттракторы . можно классифицировать минимальные множества непрерывных динамических систем на любом двумерном компактном и связном многообразии. Тем не менее, благодаря обобщению Артура Дж. Шварца ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Приложения

Одним из важных выводов является то, что двумерная непрерывная динамическая система не может породить странный аттрактор . Если бы странный аттрактор C действительно существовал в такой системе, то его можно было бы заключить в замкнутое и ограниченное подмножество фазового пространства. Сделав это подмножество достаточно маленьким, можно исключить любые близлежащие стационарные точки. Но тогда теорема Пуанкаре–Бендиксона утверждает, что C вовсе не является странным аттрактором: он либо является предельным циклом , либо сходится к предельному циклу.

Важно отметить, что теорема Пуанкаре–Бендиксона не применима к дискретным динамическим системам , где хаотическое поведение может возникнуть в двумерных или даже одномерных системах.

См. также

Ссылки

^ Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). «Теория Пуанкаре – Бендиксона двумерных автономных систем». Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 389–403 . ISBN 978-0-89874-755-3 .
^ Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
^ Д'Хеден, Р.Н. (1961). «Автономное дифференциальное уравнение третьего порядка с почти периодическими решениями» . Журнал математического анализа и приложений . 3 (2). Эльзевир : 344–350. дои : 10.1016/0022-247X(61)90059-2 .
^ Шварц, Артур Дж. (1963). «Обобщение теоремы Пуанкаре-Бендиксона на замкнутые двумерные многообразия» . Американский журнал математики . 85 (3): 453–458. дои : 10.2307/2373135 . JSTOR 2373135 .
^ Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (28 апреля 1995 г.). Введение в современную теорию динамических систем (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511809187 . ISBN 978-0-521-34187-5 .

Бендиксон, Ивар (1901), «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» , Acta Mathematica , 24 (1), Springer Нидерланды: 1–88, doi : 10.1007/BF02403068
Пуанкаре, Анри (1892), «О кривых, определяемых дифференциальным уравнением», Oeuvres , vol. 1, Париж {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1] Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). «Теория Пуанкаре – Бендиксона двумерных автономных систем». Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 389–403 . ISBN 978-0-89874-755-3 .

[2] Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .

[dheedene-3] Д'Хеден, Р.Н. (1961). «Автономное дифференциальное уравнение третьего порядка с почти периодическими решениями» . Журнал математического анализа и приложений . 3 (2). Эльзевир : 344–350. дои : 10.1016/0022-247X(61)90059-2 .

[4] Шварц, Артур Дж. (1963). «Обобщение теоремы Пуанкаре-Бендиксона на замкнутые двумерные многообразия» . Американский журнал математики . 85 (3): 453–458. дои : 10.2307/2373135 . JSTOR 2373135 .

[5] Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (28 апреля 1995 г.). Введение в современную теорию динамических систем (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511809187 . ISBN 978-0-521-34187-5 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]