Лифт (математика)

Морфизм h является лифтом f ( коммутативная диаграмма ).

В теории категорий разделе математики , для данного морфизма f : X → Y и морфизма g : Z → Y поднятие до или поднятие f , представляет Z собой морфизм h : X → Z такой, что f = g ∘ h . Мы говорим, что f действует через h .

Базовым примером топологии является подъем пути в одном топологическом пространстве до пути в покрывающем пространстве . Например, рассмотрим отображение противоположных точек сферы в одну и ту же точку, непрерывное отображение сферы, покрывающее проективную плоскость . Путь на проективной плоскости представляет собой непрерывное отображение единичного интервала [0,1]. Мы можем поднять такой путь до сферы, выбрав одну из двух точек сферы, отображающую первую точку пути, а затем сохранив непрерывность. В этом случае каждая из двух начальных точек создает уникальный путь на сфере — подъем пути в проективной плоскости. Таким образом, в категории топологических пространств с непрерывными отображениями как морфизмами имеем

${\begin{aligned}f\colon \,&[0,1]\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (projective plane path)}}\\g\colon \,&S^{2}\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (covering map)}}\\h\colon \,&[0,1]\to S^{2}&&\ {\text{ (sphere path)}}\end{aligned}}$

Лифты повсюду; например, определение расслоений (см. Свойство гомотопического подъема ) и оценочные критерии отделимых и собственных отображений формулируются схем в терминах существования и (в последнем случае) единственности определенных лифтов.

В алгебраической топологии и гомологической алгебре тензорное произведение и Hom сопряжены функтор ; однако они не всегда могут соответствовать точной последовательности . Это приводит к определению функтора Ext и функтора Tor .

Алгебраическая логика

Основная статья: Исчисление отношений

Обозначения логики предикатов первого порядка упрощаются, когда кванторы относят к установленным областям и диапазонам бинарных отношений . Гюнтер Шмидт и Майкл Винтер проиллюстрировали метод переноса традиционных логических выражений топологии в исчисление отношений в своей книге «Реляционная топология» . Они стремятся «поднять концепции на реляционный уровень, сделав их свободными от точек и кванторов, таким образом освобождая их от стиля логики предикатов первого порядка и приближая к ясности алгебраических рассуждений».

Например, частичная функция M соответствует включению $M^{T};M\subseteq I$ где $I$ обозначает тождественное отношение в диапазоне M . «Обозначение количественной оценки скрыто и остается глубоко включенным в типизацию реляционных операций (здесь транспонирование и композиция) и их правил».

Карты кругов

Для карт круга определение подъема до реальной линии немного отличается (обычное применение — вычисление числа вращения ). Дана карта на круге, $T:{\text{S}}\rightarrow {\text{S}}$, лифт $T$, $F_{T}$, есть ли карта на реальной линии, $F_{T}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, для которого существует проекция (или отображение покрытия ), $\pi :\mathbb {R} \rightarrow {\text{S}}$, такой, что $\pi \circ F_{T}=T\circ \pi$.

См. также

• Покрытие пространства
• Проекционный модуль
• Формально гладкое отображение обладает свойством бесконечно малого подъема.
• Подъем имущества по категориям
• Когомологии Монского–Вашницера поднимают p-адические многообразия до нулевой характеристики.
• Кольцо SBI позволяет поднять идемпотенты над радикалом Джекобсона.
• Икеда лифт
• Мияваки-лифт модульных форм Siegel
• Сайто – Курокавы Лифт модульных форм
• Число вращения использует подъем гомеоморфизма окружности до действительной прямой.
• Арифметическая геометрия : Эндрю Уайлс (1995) подъем модульности
• Лемма Гензеля
• Монада (функциональное программирование) использует функционал отображения для приведения простых операторов к монадической форме.
• Касательное расслоение § Лифты