Лифт (математика)

В теории категорий , разделе математики , для данного морфизма f : X → Y и морфизма g : Z → Y поднятие что или поднятие f : до Z морфизм h представляет собой X → Z такой, f = g ∘ h . Мы говорим, что f действует через h .

Базовым примером топологии является подъем пути в одном топологическом пространстве до пути в покрывающем пространстве . ^[1]Например, рассмотрим отображение противоположных точек сферы в одну и ту же точку, непрерывное отображение сферы, покрывающее проективную плоскость . Путь на проективной плоскости представляет собой непрерывное отображение единичного интервала [0,1]. Мы можем поднять такой путь до сферы, выбрав одну из двух точек сферы, отображающую первую точку пути, а затем сохранив непрерывность. В этом случае каждая из двух начальных точек создает уникальный путь на сфере — подъем пути в проективной плоскости. Таким образом, в категории топологических пространств с непрерывными отображениями как морфизмами имеем

{\begin{aligned}f\colon \,&[0,1]\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (projective plane path)}}\\g\colon \,&S^{2}\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (covering map)}}\\h\colon \,&[0,1]\to S^{2}&&\ {\text{ (sphere path)}}\end{aligned}}

Лифты повсюду; например, определение расслоений (см. Свойство гомотопического подъема ) и оценочные критерии отделимых и собственных отображений схем единственности формулируются в терминах существования и (в последнем случае) определенных лифтов.

В алгебраической топологии и гомологической алгебре тензорное и функтор Hom сопряжены ; произведение однако они не всегда могут соответствовать точной последовательности . Это приводит к определению функтора Ext и функтора Tor .

Алгебраическая логика [ править ]

Обозначения логики предикатов первого порядка упрощаются, когда кванторы относят к установленным областям и диапазонам бинарных отношений . Гюнтер Шмидт и Майкл Винтер проиллюстрировали метод переноса традиционных логических выражений топологии в исчисление отношений в своей книге «Реляционная топология» . ^[2]Они стремятся «поднять концепции на реляционный уровень, сделав их свободными от точек и кванторов, таким образом освобождая их от стиля логики предикатов первого порядка и приближая к ясности алгебраических рассуждений».

Например, частичная функция M соответствует включению $M^{T};M\subseteq I$ где $I$ обозначает тождественное отношение в диапазоне M . «Обозначение количественной оценки скрыто и остается глубоко включенным в типизацию реляционных операций (здесь транспонирование и композиция) и их правил».

Карты кругов [ править ]

Для карт круга определение подъема до реальной линии немного отличается (обычное применение — вычисление числа вращения ). Дана карта на круге, $T:{\text{S}}\rightarrow {\text{S}}$ , лифт $T$ , $F_{T}$ , есть ли карта на реальной линии, $F_{T}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ , для которого существует проекция (или отображение покрытия ), $\pi :\mathbb {R} \rightarrow {\text{S}}$ , такой, что $\pi \circ F_{T}=T\circ \pi$ . ^[3]

См. также [ править ]

Покрытие пространства
Проекционный модуль
Формально гладкое отображение обладает свойством бесконечно малого подъема.
Подъем имущества по категориям
Когомологии Монского–Вашницера поднимают p-адические многообразия до нулевой характеристики.
Кольцо SBI позволяет поднять идемпотенты над радикалом Джекобсона.
Икеда лифт
Мияваки-лифт модульных форм Siegel
Сайто – Курокавы Лифт модульных форм
Число вращения использует подъем гомеоморфизма окружности до действительной прямой.
Арифметическая геометрия : Эндрю Уайлс (1995) подъем модульности
Лемма Гензеля
Монада (функциональное программирование) использует функционал отображения для приведения простых операторов к монадической форме.
Касательное расслоение § Лифты

Ссылки [ править ]

^ Жан-Пьер Маркиз (2006) «Путь к эпистемологии математики: теория гомотопии», страницы 239–260 в « Архитектуре современной математики» , Дж. Феррейрос и Дж. Джей Грей , редакторы, Oxford University Press ISBN 978-0-19-856793-6
^ Гюнтер Шмидт и Майкл Винтер (2018): Реляционная топология , страницы 2–5, Конспекты лекций по математике, том. 2208, книги Спрингера , ISBN 978-3-319-74451-3
^ Роберт Л. Девани (1989): Введение в хаотические динамические системы , стр. 102-103, Аддисон-Уэсли

[1] Жан-Пьер Маркиз (2006) «Путь к эпистемологии математики: теория гомотопии», страницы 239–260 в « Архитектуре современной математики» , Дж. Феррейрос и Дж. Джей Грей , редакторы, Oxford University Press ISBN 978-0-19-856793-6

[2] Гюнтер Шмидт и Майкл Винтер (2018): Реляционная топология , страницы 2–5, Конспекты лекций по математике, том. 2208, книги Спрингера , ISBN 978-3-319-74451-3

[3] Роберт Л. Девани (1989): Введение в хаотические динамические системы , стр. 102-103, Аддисон-Уэсли

[1]

[2]

[3]