Формально гладкая карта

В алгебраической геометрии и коммутативной алгебре кольцевой гомоморфизм $f:A\to B$ называется формально гладким (от французского : Formellement lisse ), если он удовлетворяет следующему свойству бесконечно малого подъема :

Предположим, что B задана структура A -алгебры через отображение f . Учитывая коммутативную A -алгебру C и нильпотентный идеал $N\subseteq C$, любой A -алгебры гомоморфизм $B\to C/N$ может быть поднято до отображения A -алгебры $B\to C$. Если, кроме того, любое такое поднятие единственно, то f называется формально этальным .

Формально гладкие карты были определены Александром Гротендиком в «Элементах алгебраической геометрии IV».

Для конечно представленных морфизмов формальная гладкость эквивалентна обычному понятию гладкости.

Примеры

Гладкие морфизмы

Все гладкие морфизмы $f:X\to S$ эквивалентны морфизмам локально конечного представления, формально гладким. Следовательно, формальная гладкость — это небольшое обобщение гладких морфизмов.

Непример

Одним из методов определения формальной гладкости схемы является использование критерия бесконечно малого подъема. Например, используя морфизм усечения $k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{3})\to k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ бесконечно малый критерий подъема можно описать с помощью коммутативного квадрата

${\begin{matrix}X&\leftarrow &{\text{Spec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{2})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\S&\leftarrow &{\text{Spec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{3})}}\right)\end{matrix}}$

где $X,S\in Sch/S$. Например, если

$X={\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{(xy)}}\right)$ и $Y={\text{Spec}}(k)$

затем рассмотрим касательный вектор в начале координат $(0,0)\in X(k)$ заданный кольцевым морфизмом

${\frac {k[x,y]}{(xy)}}\to {\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{2})}}$

отправка

${\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon \\y&\mapsto \varepsilon \end{aligned}}$

Обратите внимание, потому что $xy\mapsto \varepsilon ^{2}=0$, это действительный морфизм коммутативных колец. Тогда, поскольку поднятие этого морфизма до

${\text{Spec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{3})}}\right)\to X$

имеет форму

${\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon +a\varepsilon ^{2}\\y&\mapsto \varepsilon +b\varepsilon ^{2}\end{aligned}}$

и $xy\mapsto \varepsilon ^{2}+(a+b)\varepsilon ^{3}=\varepsilon ^{2}$, не может быть бесконечно малого подъема, поскольку он не равен нулю, следовательно $X\in Sch/k$ формально не является гладкой. Это также доказывает, что этот морфизм не является гладким из-за эквивалентности между формально гладкими морфизмами локально конечного представления и гладкими морфизмами.

См. также

• Двойной номер
• Гладкий морфизм
• Теория деформации

Внешние ссылки

• Формально гладкий с гладкими волокнами, но не гладкий https://mathoverflow.net/q/333596
• Формально гладкий, но не гладкий https://mathoverflow.net/q/195