Лемма Гензеля

В математике , утверждающим , лемма Гензеля , также известная как лемма Гензеля о подъеме , названная в честь Курта Гензеля , является результатом модульной арифметики что если одномерный многочлен имеет простой корень по модулю простого числа p , то этот корень можно поднять до уникального числа. корень по модулю любой высшей степени p . В более общем смысле, если полином разлагается по модулю p на два взаимно простых многочлена , эта факторизация может быть повышена до факторизации по модулю любой более высокой степени p (случай корней соответствует случаю степени 1 для одного из факторов).

Переходя к «пределу» (фактически это обратный предел ), когда степень p стремится к бесконечности, следует, что корень или факторизация по модулю p могут быть подняты до корня или факторизации по p -адическим целым числам. .

Эти результаты были широко обобщены под тем же названием на случай многочленов над произвольным коммутативным кольцом , где p заменяется идеалом , а «взаимно простые многочлены» означают «многочлены, порождающие идеал, содержащий 1 ».

Лемма Гензеля является фундаментальной в p -адическом анализе , разделе аналитической теории чисел .

Доказательство леммы Гензеля является конструктивным и приводит к эффективному алгоритму подъема Гензеля , который является фундаментальным для факторизации многочленов , и дает наиболее эффективный известный алгоритм для точной линейной алгебры над рациональными числами .

Модульное уменьшение и подъем

Исходная лемма Хенселя касается связи между полиномиальной факторизацией целых чисел и целых чисел по модулю p простого числа и его степеней. Его можно напрямую распространить на случай, когда целые числа заменяются любым коммутативным кольцом , а p заменяется любым максимальным идеалом (действительно, максимальными идеалами $\mathbb {Z}$ иметь форму $p\mathbb {Z} ,$ где p — простое число).

Чтобы сделать это точным, требуется обобщение обычной модульной арифметики , поэтому полезно точно определить терминологию, которая обычно используется в этом контексте.

Пусть R коммутативное кольцо, а I идеал — кольца R. — Сокращение по модулю I относится к замене каждого элемента R его образом при каноническом отображении. $R\to R/I.$ Например, если $f\in R[X]$ — многочлен с коэффициентами из R , его приведение по модулю I , обозначаемое $f{\bmod {I}},$ полином в $(R/I)[X]=R[X]/IR[X]$ получается заменой коэффициентов функции f их образом в $R/I.$ Два полинома f и g в $R[X]$ конгруэнтны по модулю I , обозначаются ${\textstyle f\equiv g{\pmod {I}}}$ если они имеют одинаковые коэффициенты по модулю I , то есть если $f-g\in IR[X].$ Если $h\in R[X],$ факторизация h по модулю I состоит из двух (или более) многочленов f, g в $R[X]$ такой, что ${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}.}$

Процесс подъема является обратным процессу сокращения. То есть данные объекты в зависимости от элементов $R/I,$ в процессе подъема эти элементы заменяются элементами $R$ (или из $R/I^{k}$ для некоторого k > 1 ), который отображается в них таким образом, что сохраняет свойства объектов.

Например, если задан полином $h\in R[X]$ и факторизацию по модулю я выразил как ${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}},}$ подняв эту факторизацию по модулю $I^{k}$ состоит из нахождения многочленов $f',g'\in R[X]$ такой, что ${\textstyle f'\equiv f{\pmod {I}},}$ ${\textstyle g'\equiv g{\pmod {I}},}$ и ${\textstyle h\equiv f'g'{\pmod {I^{k}}}.}$ Лемма Гензеля утверждает, что такой подъем всегда возможен в мягких условиях; см. следующий раздел.

Заявление

Первоначально лемма Гензеля была сформулирована (и доказана) для поднятия факторизации по модулю простого числа p многочлена над целыми числами до факторизации по модулю любой степени p и до факторизации по p -адическим целым числам . Это можно легко обобщить с тем же доказательством на случай, когда целые числа заменяются любым коммутативным кольцом , простое число заменяется максимальным идеалом , а p -адические целые числа заменяются пополнением относительно максимального идеала. . Именно это обобщение, которое также широко используется, представлено здесь.

Позволять ${\mathfrak {m}}$ — максимальный идеал коммутативного кольца R и

$h=\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}$

быть полиномом от $R[X]$ с ведущим коэффициентом $\alpha _{0}$ не в ${\mathfrak {m}}.$

С ${\mathfrak {m}}$ — максимальный идеал, факторкольцо $R/{\mathfrak {m}}$ это поле , и $(R/{\mathfrak {m}})[X]$ является областью главного идеала и, в частности, уникальной областью факторизации , что означает, что каждый ненулевой полином в $(R/{\mathfrak {m}})[X]$ может быть факторизован уникальным способом как произведение ненулевого элемента $(R/{\mathfrak {m}})$ и неприводимые многочлены , которые являются моническими (т. е. их старшие коэффициенты равны 1).

Лемма Гензеля утверждает, что каждая факторизация h по модулю ${\mathfrak {m}}$ на взаимно простые полиномы можно уникальным образом поднять в факторизацию по модулю ${\mathfrak {m}}^{k}$ для каждого к .

Точнее, с учетом вышеизложенных гипотез, если ${\textstyle h\equiv \alpha _{0}fg{\pmod {\mathfrak {m}}},}$ где f и g — монические и взаимно простые по модулю ${\mathfrak {m}},$ тогда для каждого натурального числа k существуют монические многочлены $f_{k}$ и $g_{k}$ такой, что

${\begin{aligned}h&\equiv \alpha _{0}f_{k}g_{k}{\pmod {{\mathfrak {m}}^{k}}},\\f_{k}&\equiv f{\pmod {\mathfrak {m}}},\\g_{k}&\equiv g{\pmod {\mathfrak {m}}},\end{aligned}}$

и $f_{k}$ и $g_{k}$ уникальны (с этими свойствами) по модулю ${\mathfrak {m}}^{k}.$

Поднятие простых корней

Важным частным случаем является случай, когда $f=X-r.$ В этом случае гипотеза взаимной простоты означает, что r является простым корнем $h{\bmod {\mathfrak {m}}}.$ Это дает следующий частный случай леммы Гензеля, который часто называют также леммой Гензеля.

С учетом приведенных выше гипотез и обозначений, если r является простым корнем $h{\bmod {\mathfrak {m}}},$ то r можно единственным способом поднять до простого корня $h{\bmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}$ для каждого положительного целого числа n . Явно, для каждого положительного целого числа n существует уникальное число. $r_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}$ такой, что ${\textstyle r_{n}\equiv r{\pmod {\mathfrak {m}}}}$ и $r_{n}$ является простым корнем $h{\bmod {\mathfrak {m}}}^{n}.$

Подъем к адическому завершению

Тот факт, что можно поднять $R/{\mathfrak {m}}^{n}$ для каждого положительного целого числа n предлагает «перейти к пределу», когда n стремится к бесконечности. Это было одной из основных причин введения p -адических целых чисел .

Учитывая максимальный идеал ${\mathfrak {m}}$ коммутативного кольца R степени ${\mathfrak {m}}$ образуют базис окрестностей топологии открытых на R , которая называется ${\mathfrak {m}}$- адическая топология . Завершение этой топологии можно отождествить с пополнением локального кольца $R_{\mathfrak {m}},$ и с обратным пределом $\lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}.$ Это пополнение представляет собой полное локальное кольцо , обычно обозначаемое ${\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}.$ Когда R — кольцо целых чисел и ${\mathfrak {m}}=p\mathbb {Z} ,$ где p — простое число, это пополнение представляет собой кольцо p -адических целых чисел. $\mathbb {Z} _{p}.$

Определение пополнения как обратного предела и приведенное выше утверждение леммы Гензеля подразумевают, что каждая факторизация на попарно взаимно простые многочлены по модулю ${\mathfrak {m}}$ полинома $h\in R[X]$ однозначно можно поднять до факторизации образа h в ${\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].$ Аналогично, каждый простой корень из h по модулю ${\mathfrak {m}}$ можно поднять до простого корня образа h в ${\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].$

Доказательство

Лемма Гензеля обычно доказывается постепенно путем поднятия факторизации по $R/{\mathfrak {m}}^{n}$ либо факторизация по $R/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ ( Линейный подъем ), или факторизация по $R/{\mathfrak {m}}^{2n}$ ( Квадратичный лифтинг ).

Основной ингредиент доказательства состоит в том, что взаимно простые многочлены над полем удовлетворяют тождеству Безу . То есть, если f и g — взаимно простые одномерные многочлены над полем (здесь $R/{\mathfrak {m}}$), существуют многочлены a и b такие, что $\deg a<\deg g,$ $\deg b<\deg f,$ и

$af+bg=1.$

Тождество Безу позволяет определить взаимно простые многочлены и доказать лемму Гензеля, даже если идеальные ${\mathfrak {m}}$ не является максимальным. Поэтому в следующих доказательствах мы начинаем с коммутативного кольца R , идеала I , многочлена $h\in R[X]$ который имеет старший коэффициент, обратимый по модулю I (это его образ в $R/I$ является единицей в $R/I$) и факторизацию по h модулю I или по модулю степени I , так что факторы удовлетворяют тождеству Безу по модулю I . В этих доказательствах ${\textstyle A\equiv B{\pmod {I}}}$ означает $A-B\in IR[X].$

Линейный подъем

Пусть I — идеал коммутативного кольца R и $h\in R[X]$ — одномерный многочлен с коэффициентами из R , имеющий старший коэффициент $\alpha$ обратимое по модулю I (т. е. образ $\alpha$ в $R/I$ является единицей в $R/I$).

Предположим, что для некоторого натурального числа k существует факторизация

$h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},$

такие, что f и g — монические многочлены , взаимно простые по модулю I , в том смысле, что существуют $a,b\in R[X],$ такой, что ${\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I}}.}$ Тогда существуют полиномы $\delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],$ такой, что $\deg \delta _{f}<\deg f,$ $\deg \delta _{g}<\deg g,$ и

$h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{k+1}}}.$

В этих условиях $\delta _{f}$ и $\delta _{g}$ уникальны по модулю $I^{k+1}R[X].$

Более того, $f+\delta _{f}$ и $g+\delta _{g}$ удовлетворяют тому же тождеству Безу, что и f и g , то есть $$a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I}}.$$ Это следует непосредственно из предыдущих утверждений, но необходимо для итеративного применения результата с увеличением значений k .

Следующее доказательство написано для вычисления $\delta _{f}$ и $\delta _{g}$ используя только полиномы с коэффициентами в $R/I$ или $I^{k}/I^{k+1}.$ Когда $R=\mathbb {Z}$ и $I=p\mathbb {Z} ,$ это позволяет манипулировать только целыми числами по модулю p .

Доказательство: По гипотезе, $\alpha$ обратима по I. модулю Это означает, что существует $\beta \in R$ и $\gamma \in IR[X]$ такой, что $\alpha \beta =1-\gamma .$

Позволять $\delta _{h}\in I^{k}R[X],$ степени меньше $\deg h,$ такой, что

$\delta _{h}\equiv h-\alpha fg{\pmod {I^{k+1}}}.$

(Можно выбрать $\delta _{h}=h-\alpha fg,$ но другие варианты могут привести к более простым вычислениям. Например, если $R=\mathbb {Z}$ и $I=p\mathbb {Z} ,$ можно и лучше выбрать $\delta _{h}=p^{k}\delta '_{h}$ где коэффициенты $\delta '_{h}$ являются целыми числами в интервале $[0,p-1].$)

Поскольку g является моническим, евклидово деление $a\delta _{h}$ по g определяется и предоставляет q и c такие, что $a\delta _{h}=qg+c,$ и $\deg c<\deg g.$ Более того, и q, и c находятся в $I^{k}R[X].$ Аналогично, пусть $b\delta _{h}=q'f+d,$ с $\deg d<\deg f,$ и $q',d\in I^{k}R[X].$

У одного есть $q+q'\in I^{k+1}R[X].$ Действительно, у человека есть

$fc+gd=af\delta _{h}+bg\delta _{h}-fg(q+q')\equiv \delta _{h}-fg(q+q'){\pmod {I^{k+1}}}.$

Как $fg$ является моником, степень по модулю $I^{k+1}$ из $fg(q+q')$ может быть меньше, чем $\deg fg$ только если $q+q'\in I^{k+1}R[X].$

Таким образом, рассматривая сравнения по модулю $I^{k+1},$ у одного есть

${\begin{aligned}\alpha (f+\beta d)&(g+\beta c)-h\\&\equiv \alpha fg-h+\alpha \beta (f(a\delta _{h}-qg)+g(b\delta _{h}-q'f))\\&\equiv \delta _{h}(-1+\alpha \beta (af+bg))-\alpha \beta fg(q+q')\\&\equiv 0{\pmod {I^{k+1}}}.\end{aligned}}$

Итак, утверждение существования проверяется с помощью

$\delta _{f}=\beta d,\qquad \delta _{g}=\beta c.$

Уникальность

Пусть R , I , h и $\alpha$ как в предыдущем разделе. Позволять

$h\equiv \alpha fg{\pmod {I}}$

быть факторизацией на взаимно простые многочлены (в указанном выше смысле), такие $\deg f_{0}+\deg g_{0}=\deg h.$ Применение линейного подъема для $k=1,2,\ldots ,n-1\ldots ,$ показывает существование $\delta _{f}$ и $\delta _{g}$ такой, что $\deg \delta _{f}<\deg f,$ $\deg \delta _{g}<\deg g,$ и

$h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{n}}}.$

Полиномы $\delta _{f}$ и $\delta _{g}$ однозначно определены по модулю $I^{n}.$ Это означает, что если другая пара $(\delta '_{f},\delta '_{g})$ удовлетворяет тем же условиям, то имеем

$\delta '_{f}\equiv \delta _{f}{\pmod {I^{n}}}\qquad {\text{and}}\qquad \delta '_{g}\equiv \delta _{g}{\pmod {I^{n}}}.$

Доказательство : поскольку сравнение по модулю $I^{n}$ подразумевает то же соответствие по модулю $I^{n-1},$ можно действовать по индукции и предположить, что единственность доказана для n − 1 , причем случай n = 0 тривиален. То есть можно предположить, что

$\delta _{f}-\delta '_{f}\in I^{n-1}R[X]\qquad {\text{and}}\qquad \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n-1}R[X].$

По гипотезе имеет

$h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})\equiv \alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g}){\pmod {I^{n}}},$

и таким образом

${\begin{aligned}\alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})&-\alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g})\\&=\alpha (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))+\alpha (\delta _{f}(\delta _{g}-\delta '_{g})-\delta _{g}(\delta _{f}-\delta '_{f}))\in I^{n}R[X].\end{aligned}}$

По предположению индукции второе слагаемое последней суммы принадлежит $I^{n},$ и то же самое верно и для первого члена. Как $\alpha$ обратим по модулю I , существуют $\beta \in R$ и $\gamma \in I$ такой, что $\alpha \beta =1+\gamma .$ Таким образом

${\begin{aligned}f(\delta _{g}-\delta '_{g})&+g(\delta _{f}-\delta '_{f})\\&=\alpha \beta (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))-\gamma (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))\in I^{n}R[X],\end{aligned}}$

снова воспользовавшись гипотезой индукции.

Копростость по модулю I подразумевает существование $a,b\in R[X]$ такой, что ${\textstyle 1\equiv af+bg{\pmod {I}}.}$ Используя гипотезу индукции еще раз, получаем

${\begin{aligned}\delta _{g}-\delta '_{g}&\equiv (af+bg)(\delta _{g}-\delta '_{g})\\&\equiv g(b(\delta _{g}-\delta '_{g})-a(\delta _{f}-\delta '_{f})){\pmod {I^{n}}}.\end{aligned}}$

Таким образом, имеется многочлен степени меньше $\deg g$ это конгруэнтно по модулю $I^{n}$ к произведению монического многочлена g и другого многочлена w . Это возможно только в том случае, если $w\in I^{n}R[X],$ и подразумевает $\delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n}R[X].$ Сходным образом, $\delta _{f}-\delta '_{f}$ также находится в $I^{n}R[X],$ и это доказывает уникальность.

Квадратичный лифтинг

Линейный подъем позволяет поднять факторизацию по модулю $I^{n}$ к факторизации по модулю $I^{n+1}.$ Квадратичный подъем позволяет непосредственно перейти к факторизации по модулю. $I^{2n},$ ценой снятия тождества Безу и вычислений по модулю $I^{n}$ вместо по модулю I (если использовать приведенное выше описание линейного подъема).

Для подъема по модулю $I^{N}$ для больших N можно использовать любой метод. Если, скажем, $N=2^{k},$ факторизация по модулю $I^{N}$ требуется N - 1 шагов линейного подъема или только k - 1 шагов квадратичного подъема. Однако в последнем случае размер коэффициентов, которыми приходится манипулировать, увеличивается во время вычислений. Это означает, что лучший метод подъема зависит от контекста (значения N , природы R , используемого алгоритма умножения, особенностей оборудования и т. д.).

Квадратичный лифтинг основан на следующем свойстве.

Предположим, что для некоторого натурального числа k существует факторизация

$h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},$

такие, что f и g — монические многочлены , взаимно простые по модулю I , в том смысле, что существуют $a,b\in R[X],$ такой, что ${\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I^{k}}}.}$ Тогда существуют полиномы $\delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],$ такой, что $\deg \delta _{f}<\deg f,$ $\deg \delta _{g}<\deg g,$ и

$h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{2k}}}.$

Более того, $f+\delta _{f}$ и $g+\delta _{g}$ удовлетворить тождество Безу в форме

$(a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I^{2k}}}.$

(Это необходимо для разрешения итераций квадратичного подъема.)

Доказательство . Первое утверждение — это в точности утверждение о линейном подъеме, применяемом при k = 1 к идеалу. $I^{k}$ вместо $I.$

Позволять $\alpha =af+bg-1\in I^{k}R[X].$ У одного есть

$a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})=1+\Delta ,$

где

$\Delta =\alpha +a\delta _{f}+b\delta _{g}\in I^{k}R[X].$

Параметр $\delta _{a}=-a\Delta$ и $\delta _{b}=-b\Delta ,$ каждый получает

$(a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})=1-\Delta ^{2}\in I^{2k}R[X],$

что и доказывает второе утверждение.

Явный пример

Позволять $f(X)=X^{6}-2\in \mathbb {Q} [X].$

По модулю 2 лемму Гензеля нельзя применить, так как приведение $f(X)$ по модулю 2 это просто ^{стр. 15-16}

${\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}$

с 6 факторами $X$ не будучи относительно простыми друг для друга. Однако по критерию Эйзенштейна можно заключить, что полином $f(X)$ является неприводимым в $\mathbb {Q} _{2}[X].$
Над $k=\mathbb {F} _{7}$с другой стороны, есть

${\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}-{\overline {16}}=(X^{3}-{\overline {4}})\;(X^{3}+{\overline {4}})$

где $4$ квадратный корень из 2 в $\mathbb {F} _{7}$. Поскольку 4 не является кубом в $\mathbb {F} _{7},$ эти два фактора неустранимы $\mathbb {F} _{7}$. Следовательно, полная факторизация $X^{6}-2$ в $\mathbb {Z} _{7}[X]$ и $\mathbb {Q} _{7}[X]$ является

$f(X)=X^{6}-2=(X^{3}-\alpha )\;(X^{3}+\alpha ),$

где $\alpha =\ldots 450\,454_{7}$ квадратный корень из 2 в $\mathbb {Z} _{7}$ которое можно получить, подняв вышеуказанную факторизацию.
Наконец, в $\mathbb {F} _{727}[X]$ многочлен распадается на

${\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=(X-{\overline {3}})\;(X-{\overline {116}})\;(X-{\overline {119}})\;(X-{\overline {608}})\;(X-{\overline {611}})\;(X-{\overline {724}})$

все факторы относительно просты друг другу, так что в $\mathbb {Z} _{727}[X]$ и $\mathbb {Q} _{727}[X]$ есть 6 факторов $X-\beta$ с (нерациональными) 727-адическими целыми числами

$\beta =\left\{{\begin{array}{rrr}3\;+&\!\!\!545\cdot 727\;+&\!\!\!537\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!161\cdot 727^{3}+\ldots \\116\;+&\!\!\!48\cdot 727\;+&\!\!\!130\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!498\cdot 727^{3}+\ldots \\119\;+&\!\!\!593\cdot 727\;+&\!\!\!667\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!659\cdot 727^{3}+\ldots \\608\;+&\!\!\!133\cdot 727\;+&\!\!\!59\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!67\cdot 727^{3}+\ldots \\611\;+&\!\!\!678\cdot 727\;+&\!\!\!596\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!228\cdot 727^{3}+\ldots \\724\;+&\!\!\!181\cdot 727\;+&\!\!\!189\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!565\cdot 727^{3}+\ldots \end{array}}\right.$

Использование деривативов для поднятия корней

Позволять $f(x)$ — многочлен с целыми (или p -адическими целыми) коэффициентами, и пусть m , k — положительные целые числа такие, что m ≤ k . Если r — целое число такое, что

$f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}$

тогда для каждого $m>0$ существует целое число s такое, что

$f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\quad {\text{and}}\quad r\equiv s{\bmod {p}}^{k}.$

Более того, это s уникально по модулю p ^{к + м} , и может быть вычислено явно как целое число такое, что

$s=r-f(r)\cdot a,$

где $a$ является целым числом, удовлетворяющим

$a\equiv [f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}.$

Обратите внимание, что $f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}$ так что условие $s\equiv r{\bmod {p}}^{k}$ встречается. Кстати, если $f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}$, то может существовать 0, 1 или несколько s (см. Hensel Lifting ниже).

Вывод

Мы используем разложение Тейлора f вокруг r, чтобы записать:

$f(s)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(s-r)^{n},\qquad c_{n}=f^{(n)}(r)/n!.$

От $r\equiv s{\bmod {p}}^{k},$ мы видим, что s − r = tp ^к для некоторого целого числа t . Позволять

${\begin{aligned}f(s)&=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\left(tp^{k}\right)^{n}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+\sum _{n=2}^{N}c_{n}t^{n}p^{kn}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&g(t)\in \mathbb {Z} [t]\\&=zp^{k}+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\\&=(z+tf'(r))p^{k}+p^{2k}t^{2}g(t)\end{aligned}}$

Для $m\leqslant k,$ у нас есть:

${\begin{aligned}f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}&\Longleftrightarrow (z+tf'(r))p^{k}\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\\&\Longleftrightarrow z+tf'(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow tf'(r)\equiv -z{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow t\equiv -z[f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}&&p\nmid f'(r)\end{aligned}}$

Предположение, что $f'(r)$ не делится на p, гарантирует, что $f'(r)$ есть обратный мод $p^{m}$ который обязательно уникален. Следовательно, решение для t существует однозначно по модулю $p^{m},$ и s существует однозначно по модулю $p^{k+m}.$

Наблюдения

Критерий неприводимых многочленов

Используя приведенные выше гипотезы, если мы рассмотрим неприводимый полином

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in K[X]$

такой, что $a_{0},a_{n}\neq 0$, затем

$|f|=\max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}$

В частности, для $f(X)=X^{6}+10X-1$, мы находим в $\mathbb {Q} _{2}[X]$

${\begin{aligned}|f(X)|&=\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n}|\}\\&=\max\{0,1,0\}=1\end{aligned}}$

но $\max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}=0$, следовательно, полином не может быть неприводимым. В то время как в $\mathbb {Q} _{7}[X]$ у нас совпадают оба значения, а это означает, что полином может быть неприводимым. Чтобы определить неприводимость, необходимо использовать многоугольник Ньютона.

Фробениус

Обратите внимание, что учитывая $a\in \mathbb {F} _{p}$ Фробениуса эндоморфизм $y\mapsto y^{p}$ дает ненулевой полином $x^{p}-a$ имеющая нулевую производную

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{p}-a)&=p\cdot x^{p-1}\\&\equiv 0\cdot x^{p-1}{\bmod {p}}\\&\equiv 0{\bmod {p}}\end{aligned}}$

следовательно, корни p- й степени $a$ не существуют в $\mathbb {Z} _{p}$. Для $a=1$, это означает, что $\mathbb {Z} _{p}$ не может содержать корень единицы $\mu _{p}$.

Корни единства

Хотя р -е корни из единицы не содержатся в $\mathbb {F} _{p}$, существуют решения $x^{p}-x=x(x^{p-1}-1)$. Обратите внимание, что

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{p}-x)&=px^{p-1}-1\\&\equiv -1{\bmod {p}}\end{aligned}}$

никогда не равен нулю, поэтому, если существует решение, оно обязательно поднимается до $\mathbb {Z} _{p}$. Потому что Фробениус дает $a^{p}=a,$ все ненулевые элементы $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ являются решениями. Фактически, это единственные корни единства, содержащиеся в $\mathbb {Q} _{p}$.

Hensel подъемник

Используя лемму, можно «поднять» корень r многочлена f по модулю p ^к к новому корню s по модулю p ^{к +1} такой, что r ≡ s mod p ^к (взяв m = 1 ; выбор большего m следует по индукции). Действительно, корень по модулю p ^{к +1} также является корнем по модулю p ^к , поэтому корни по модулю p ^{к +1} являются подъемами корней по модулю p ^к . Новый корень s конгруэнтен r по модулю p , поэтому новый корень также удовлетворяет $f'(s)\equiv f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}.$ Таким образом, подъем можно повторить, начиная с решения r _k уравнения $f(x)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}$ мы можем вывести последовательность решений rk _{, ... одного и того же сравнения для +1} , rk _{при условии +2} последовательно возрастающих степеней p , что $f'(r_{k})\not \equiv 0{\bmod {p}}$ для начального корня r _k . Это также показывает, что f имеет одинаковое количество корней по модулю p ^к как мод р ^{к +1} , против п ^{к +2} , или любую другую высшую степень p , при условии, что корни f mod p ^к все просто.

Что произойдет с этим процессом, если r не является простым корневым модом p ? Предположим, что

$f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}.$

Затем $s\equiv r{\bmod {p}}^{k}$ подразумевает $f(s)\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}.$ То есть, $f(r+tp^{k})\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}$ для всех целых чисел t . Таким образом, у нас есть два случая:

• Если $f(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}$ тогда нет подъема r до корня из f ( x ) по модулю p ^{к +1} .
• Если $f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}$ тогда каждое поднятие r до модуля p ^{к +1} является корнем f ( x ) по модулю p ^{к +1} .

Пример. Чтобы увидеть оба случая, мы рассмотрим два разных полинома с p = 2 :

$f(x)=x^{2}+1$ и р = 1 . Затем $f(1)\equiv 0{\bmod {2}}$ и $f'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.$ У нас есть $f(1)\not \equiv 0{\bmod {4}}$ это означает, что никакое повышение 1 до модуля 4 не является корнем f ( x ) по модулю 4.

$g(x)=x^{2}-17$ и р = 1 . Затем $g(1)\equiv 0{\bmod {2}}$ и $g'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.$ Однако, поскольку $g(1)\equiv 0{\bmod {4}},$ мы можем поднять наше решение до модуля 4, и оба подъема (т. е. 1, 3) являются решениями. Производная по-прежнему равна 0 по модулю 2, поэтому априори мы не знаем, сможем ли мы поднять их до модуля 8, но на самом деле можем, поскольку g (1) равно 0 по модулю 8, а g (3) равно 0 по модулю 8, давая решения для 1, 3, 5 и 7 по модулю 8. Поскольку из них только g (1) и g (7) равны 0 по модулю 16, мы можем поднять только 1 и 7 по модулю 16, давая 1, 7, 9 и 15 по модулю 16. Из них только 7 и 9 дают g ( x ) = 0 по модулю 32 , поэтому их можно увеличить, дав 7, 9, 23 и 25 по модулю 32. Получается Выяснилось, что для каждого целого числа k ≥ 3 существует четыре подъема 1 по модулю 2 до корня из g ( x ) по модулю 2. ^к .

Лемма Гензеля для p -адических чисел

В p -адических числах, где мы можем понимать рациональные числа по модулю степеней p, знаменатель не кратен p , рекурсия из rk _p (корни по модулю пока ^к ) до r _{k +1} (корни по модулю p ^{к +1} ) можно выразить гораздо более интуитивным способом. Вместо того, чтобы выбирать t в качестве целого числа (y), которое решает сравнение

$tf'(r_{k})\equiv -(f(r_{k})/p^{k}){\bmod {p}}^{m},$

пусть t — рациональное число ( p ^к на самом деле это не знаменатель, поскольку f ( r _k ) делится на p ^к ):

$-(f(r_{k})/p^{k})/f'(r_{k}).$

Затем установите

$r_{k+1}=r_{k}+tp^{k}=r_{k}-{\frac {f(r_{k})}{f'(r_{k})}}.$

Эта дробь может не быть целым числом, но это p -адическое целое число, и последовательность чисел r _k сходится в p -адических целых числах к корню f ( x ) = 0. Более того, отображаемая рекурсивная формула для (новое) число r _{k +1} в терминах r _k — это в точности метод Ньютона для поиска корней уравнений в действительных числах.

Работая непосредственно с p -адическими параметрами и используя p -адическое абсолютное значение , существует версия леммы Гензеля, которую можно применить, даже если мы начнем с решения f ( a ) ≡ 0 mod p, такого, что $f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}.$ Нам просто нужно убедиться, что номер $f'(a)$ не совсем 0. Эта более общая версия выглядит следующим образом: если существует целое число a, которое удовлетворяет:

$|f(a)|_{p}<|f'(a)|_{p}^{2},$

тогда существует единственное p -адическое целое число b такое, что f ( b ) = 0 и $|b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}.$ Построение b сводится к тому, чтобы показать, что рекурсия метода Ньютона с начальным значением a сходится в p -адических числах, и мы позволяем b быть пределом. Единственность b как корня, соответствующего условию $|b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}$ нуждается в дополнительной работе.

Приведенная выше формулировка леммы Гензеля (принимая $m=1$) является частным случаем этой более общей версии, поскольку условия f ( a ) ≡ 0 mod p и $f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}$ скажи это $|f(a)|_{p}<1$ и $|f'(a)|_{p}=1.$

Примеры

Предположим, что p — нечетное простое число, а a — ненулевой квадратичный вычет по модулю p . Тогда из леммы Гензеля следует, что a имеет квадратный корень в кольце p -адических целых чисел. $\mathbb {Z} _{p}.$ Действительно, пусть $f(x)=x^{2}-a.$ Если r является квадратным корнем из модуля то p, :

$f(r)=r^{2}-a\equiv 0{\bmod {p}}\quad {\text{and}}\quad f'(r)=2r\not \equiv 0{\bmod {p}},$

где второе условие зависит от того, что p нечетно. Базовая версия леммы Гензеля говорит нам, что, начиная с r ₁ = r, мы можем рекурсивно построить последовательность целых чисел $\{r_{k}\}$ такой, что:

$r_{k+1}\equiv r_{k}{\bmod {p}}^{k},\quad r_{k}^{2}\equiv a{\bmod {p}}^{k}.$

Эта последовательность сходится к некоторому p -адическому целому числу b, которое удовлетворяет условию b ² = а . Фактически, b — это уникальный квадратный корень из a в $\mathbb {Z} _{p}$ конгруэнтно r ₁ по модулю p . Обратно, если a — полный квадрат в $\mathbb {Z} _{p}$ и он не делится на p , то это ненулевой квадратичный вычет по модулю p . Обратите внимание, что квадратичный закон взаимности позволяет легко проверить, является ли a ненулевым квадратичным вычетом по модулю p , таким образом, мы получаем практический способ определить, какие p -адические числа (при p нечетном) имеют p -адический квадратный корень, и он может быть расширено для покрытия случая p = 2 с использованием более общей версии леммы Гензеля (пример с 2-адическими квадратными корнями из 17 приведен ниже).

Чтобы сделать обсуждение выше более ясным, давайте найдем «квадратный корень из 2» (решение задачи $x^{2}-2=0$) в 7-адических целых числах. Одно решение по модулю 7 равно 3 (мы могли бы взять и 4), поэтому полагаем $r_{1}=3$. Тогда лемма Гензеля позволяет нам найти $r_{2}$ следующее:

${\begin{aligned}f(r_{1})&=3^{2}-2=7\\f(r_{1})/p^{1}&=7/7=1\\f'(r_{1})&=2r_{1}=6\end{aligned}}$

На основании чего выражение

$tf'(r_{1})\equiv -(f(r_{1})/p^{k}){\bmod {p}},$

превращается в:

$t\cdot 6\equiv -1{\bmod {7}}$

что подразумевает $t=1.$ Сейчас:

$r_{2}=r_{1}+tp^{1}=3+1\cdot 7=10=13_{7}.$

И конечно же, $10^{2}\equiv 2{\bmod {7}}^{2}.$ (Если бы мы использовали рекурсию метода Ньютона непосредственно в 7-адике, то $r_{2}=r_{1}-f(r_{1})/f'(r_{1})=3-7/6=11/6,$ и $11/6\equiv 10{\bmod {7}}^{2}.$)

Мы можем продолжить и найти $r_{3}=108=3+7+2\cdot 7^{2}=213_{7}$. Каждый раз, когда мы проводим расчет (то есть для каждого последующего значения k ), добавляется еще одна цифра по основанию 7 для следующей большей степени 7. В 7-адических целых числах эта последовательность сходится, и пределом является квадрат корень из 2 в $\mathbb {Z} _{7}$ который имеет начальное 7-адическое разложение

$3+7+2\cdot 7^{2}+6\cdot 7^{3}+7^{4}+2\cdot 7^{5}+7^{6}+2\cdot 7^{7}+4\cdot 7^{8}+\cdots .$

Если бы мы начали с первоначального выбора $r_{1}=4$ тогда лемма Гензеля даст квадратный корень из 2 в $\mathbb {Z} _{7}$ что соответствует 4 (по модулю 7) вместо 3 (по модулю 7), и фактически этот второй квадратный корень будет отрицательным значением первого квадратного корня (что соответствует 4 = -3 по модулю 7).

В качестве примера, когда исходная версия леммы Гензеля недействительна, а более общая, пусть $f(x)=x^{2}-17$ и $a=1.$ Затем $f(a)=-16$ и $f'(a)=2,$ так

$|f(a)|_{2}<|f'(a)|_{2}^{2},$

из чего следует, что существует уникальное 2-адическое целое число b, удовлетворяющее

$b^{2}=17\quad {\text{and}}\quad |b-a|_{2}<|f'(a)|_{2}={\frac {1}{2}},$

т. е. b ≡ 1 по модулю 4. В 2-адических целых числах есть два квадратных корня из 17, различающихся знаком, и хотя они конгруэнтны по модулю 2, они не конгруэнтны по модулю 4. Это согласуется с общей версией формулы Гензеля. лемма дает нам только уникальный 2-адический квадратный корень из 17, который соответствует 1 по модулю 4, а не по модулю 2. Если бы мы начали с начальный приблизительный корень a = 3, то мы могли бы снова применить более общую лемму Гензеля, чтобы найти уникальный 2-адический квадратный корень из 17, который соответствует 3 по модулю 4. Это другой 2-адический квадратный корень из 17.

Что касается поднятия корней $x^{2}-17$ от модуля 2 ^к до 2 ^{к +1} , лифты, начинающиеся с корня 1 mod 2, следующие:

1 против 2 → 1, 3 против 4

1 против 4 → 1, 5 против 8 и 3 против 4 → 3, 7 против 8

1 мод 8 → 1, 9 мод 16 и 7 мод 8 → 7, 15 мод 16, а 3 мод 8 и 5 мод 8 не поднимаются до корней мод 16

9 мод 16 → 9, 25 мод 32 и 7 мод 16 → 7, 23 мод 16, а 1 мод 16 и 15 мод 16 не поднимаются к корням мод 32.

Для каждого k не менее 3 существует четыре корня из x ² − 17 против 2 ^к , но если мы посмотрим на их 2-адические разложения, то увидим, что попарно они сходятся всего лишь к двум 2-адическим пределам. Например, четыре корня по модулю 32 распадаются на две пары корней, каждая из которых выглядит одинаково по модулю 16:

9 = 1 + 2 ³ и 25 = 1 + 2 ³ + 2 ⁴ .

7 = 1 + 2 + 2 ² и 23 = 1 + 2 + 2 ² + 2 ⁴ .

2-адические квадратные корни из 17 имеют разложение.

$1+2^{3}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{9}+2^{10}+\cdots$

$1+2+2^{2}+2^{4}+2^{8}+2^{11}+\cdots$

Другой пример, в котором мы можем использовать более общую версию леммы Гензеля, но не базовую версию, — это доказательство того, что любое 3-адическое целое число c ≡ 1 по модулю 9 является кубом по $\mathbb {Z} _{3}.$ Позволять $f(x)=x^{3}-c$ и возьмем начальное приближение a = 1. Основная лемма Гензеля не может быть использована для нахождения корней f ( x ), поскольку $f'(r)\equiv 0{\bmod {3}}$ за каждый р . Чтобы применить общую версию леммы Гензеля, нам нужно $|f(1)|_{3}<|f'(1)|_{3}^{2},$ что означает $c\equiv 1{\bmod {2}}7.$ То есть, если c ≡ 1 mod 27, то общая лемма Гензеля говорит нам, что f ( x ) имеет 3-адический корень, поэтому c является 3-адическим кубом. Однако мы хотели получить этот результат при более слабом условии, что c ≡ 1 по модулю 9. Если c ≡ 1 по модулю 9, то c ≡ 1, 10 или 19 по модулю 27. Мы можем применить общую лемму Гензеля три раза в зависимости от значения по c модулю 27: если c ≡ 1 по модулю 27, то используйте a = 1, если c ≡ 10 по модулю 27, то используйте a = 4 (поскольку 4 является корнем f ( x ) по модулю 27), а если c ≡ 19 по модулю 27, то используйте a = 7. (Неверно, что каждый c ≡ 1 по модулю 3 является 3-адическим кубом. , например, 4 не является 3-адическим кубом, поскольку он не является кубом по модулю 9.)

Аналогичным образом, после некоторой предварительной работы, лемму Гензеля можно использовать, чтобы показать, что для любого нечетного простого числа p любое p -адическое целое число c , конгруэнтное 1 по модулю p ² является p-й степенью в $\mathbb {Z} _{p}.$ (Это неверно для p = 2.)

Обобщения

Предположим, что A — коммутативное кольцо , полное относительно идеала. ${\mathfrak {m}},$ и пусть $f(x)\in A[x].$ a ∈ A называется «приблизительным корнем» f , если

$f(a)\equiv 0{\bmod {f}}'(a)^{2}{\mathfrak {m}}.$

Если f имеет приблизительный корень, то он имеет точный корень b ∈ A , «близкий» к a ; то есть,

$f(b)=0\quad {\text{and}}\quad b\equiv a{\bmod {\mathfrak {m}}}.$

Кроме того, если $f'(a)$ не является делителем нуля, то b уникально.

Этот результат можно обобщить на несколько переменных следующим образом:

Теорема. Пусть A — коммутативное кольцо, полное относительно идеала ${\mathfrak {m}}\subset A.$ Позволять $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ — система n полиномов от n переменных над A . Вид $\mathbf {f} =(f_{1},\ldots ,f_{n}),$ как отображение из A ^н себе, и пусть $J_{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ обозначим его матрицу Якобиана . Предположим, a = ( a ₁ , ..., a _n ) ∈ A ^н является приближенным решением f = 0 в том смысле, что

$f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {(}}\det J_{\mathbf {f} }(a))^{2}{\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n.$

Тогда существует некоторый b = ( b ₁ , ..., b _n ) ∈ A ^н удовлетворяющее f ( b ) = 0 , т. е.

$f_{i}(\mathbf {b} )=0,\qquad 1\leqslant i\leqslant n.$

Кроме того, это решение «близко» к a в том смысле, что

$b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\det }}J_{\mathbf {f} }(a){\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n.$

В частном случае, если $f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {\mathfrak {m}}}$ для всех я и $\det J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )$ является единицей в A , то существует решение f ( b ) = 0 с $b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\mathfrak {m}}}$ для всех я .

Когда n = 1, a = a является элементом A и $J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )=J_{f}(a)=f'(a).$ Гипотезы этой многомерной леммы Гензеля сводятся к тем, которые были сформулированы в лемме Гензеля с одной переменной.

Связанные понятия

Полнота кольца не является необходимым условием для того, чтобы кольцо обладало гензелевым свойством: Горо Адзумая в 1950 году определил коммутативное локальное кольцо, удовлетворяющее свойству гензеля, при котором максимальный идеал m является гензелевым кольцом .

Масаёси Нагата доказал в 1950-х годах, что для любого коммутативного локального кольца A с максимальным идеалом m всегда существует наименьшее кольцо A. ^час содержащий A такой, что A ^час является гензелевым относительно m A ^час . Это А ^час называется гензелизацией A ​ . Если A нётерово ​ , A ^час также будет нетеровым, и A ^час является явно алгебраическим, поскольку строится как предел этальных окрестностей . Это означает, что А ^час обычно намного меньше завершения , сохраняя при этом свойство Гензеля и оставаясь в той же категории .

См. также

• Теорема Хассе-Минковского
• Многоугольник Ньютона
• Локально компактное поле
• Лемма о поднятии показателя степени

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN.  978-0-387-94269-8 , МР   1322960
• Милн, Дж.Г. (1980), Государственные когомологии , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-08238-7