Гензельское кольцо

В математике ( гензелево кольцо или кольцо Гензеля ) — это локальное кольцо , в котором выполняется лемма Гензеля . Они были представлены Азумая (1951) , который назвал их в честь Курта Хензеля . Первоначально Адзумая допускал, что гензелевы кольца некоммутативны , но теперь большинство авторов ограничивают их коммутативностью .

Некоторые стандартные ссылки на кольца Гензеля: ( Нагата 1975 , глава VII), ( Рейно 1970 ) и ( Гротендик 1967 , глава 18).

Определения

В этой статье кольца будут считаться коммутативными, хотя существует также теория некоммутативных гензелевых колец.

• Локальное кольцо R с максимальным идеалом m называется гензелевым, если справедлива лемма Гензеля. Это означает, что если P — монический многочлен в R [ x ], то любая факторизация его образа P в ( R / m )[ x ] в произведение взаимно простых монических многочленов может быть поднята до факторизации в R [ x ].
• Локальное кольцо является гензелевым тогда и только тогда, когда каждое конечное расширение кольца является произведением локальных колец.
• Гензелево локальное кольцо называется строго гензелевым, если его поле вычетов сепарабельно замкнуто .
• Злоупотребляя терминологией , поле $K$ с оценкой $v$ называется гензелевым, если его кольцо нормирования гензелево. Это так тогда и только тогда, когда $v$ однозначно продолжается на любое конечное расширение $K$ (соответственно каждому конечному сепарабельному расширению $K$, соотв. к $K^{alg}$, соотв. к $K^{sep}$).
• Кольцо называется гензелевым, если оно является прямым произведением конечного числа гензелевых локальных колец.

Характеристики

• Предположим, что $(K,v)$ является гензелевым полем. Тогда каждое алгебраическое расширение $K$ является гензелевым (по четвертому определению выше).
• Если $(K,v)$ является гензелевым полем и $\alpha$ является алгебраическим над $K$, то для каждого сопряженного $\alpha '$ из $\alpha$ над $K$, $v(\alpha ')=v(\alpha )$. Это следует из четвертого определения и того факта, что для всякого K-автоморфизма $\sigma$ из $K^{alg}$, $v\circ \sigma$ является продолжением $v|_{K}$. Обратное утверждение также справедливо, поскольку для нормального расширения поля $L/K$, расширения $v$ к $L$ известно, что они сопряжены.

Гензелевы кольца в алгебраической геометрии

Гензелевы кольца являются локальными кольцами относительно топологии Нисневича в том смысле, что если $R$ является гензелевым локальным кольцом, а $\{U_{i}\to X\}$ является покрытием Нисневича $X=Spec(R)$, то один из $U_{i}\to X$ является изоморфизмом. Это следует сравнить с тем, что для любого открытого покрытия Зариского $\{U_{i}\to X\}$ спектра $X=Spec(R)$ местного кольца $R$, один из $U_{i}\to X$ является изоморфизмом. Фактически это свойство характеризует гензелевы кольца, соотв. местные кольца.

Точно так же строгие гензелевы кольца являются локальными кольцами геометрических точек в этальной топологии .

генселизация

Для любого локального кольца A существует универсальное гензелево кольцо B , порожденное A называемое гензелизацией A A , введенное Нагатой (1953) , такое, что любой локальный гомоморфизм из на в гензелево кольцо может быть однозначно продолжен B. , Гензелизация А единственна с точностью до единственного изоморфизма . Гензелизация A алгебраической заменой пополнения A . является Гензелизация A имеет то же поле пополнения и вычетов, что и A и является плоским модулем над A. , Если А нётерово , , уменьшено , нормально, регулярно или превосходно то такой же является и его гензелизация. Например, гензелизация кольца многочленов k [ x , y ,...], локализованного в точке (0,0,...), представляет собой кольцо алгебраических формальных степенных рядов (формальных степенных рядов, удовлетворяющих алгебраическому уравнению ). Это можно рассматривать как «алгебраическую» часть завершения.

Аналогично существует строго гензелевое кольцо, порожденное , строгой гензелизацией A. A называемое Строгая гензелизация не вполне универсальна: она единственна, но только с точностью до неединственного изоморфизма. Точнее, это зависит от выбора сепарабельного алгебраического замыкания поля вычетов A , и автоморфизмы этого сепарабельного алгебраического замыкания соответствуют автоморфизмам соответствующей строгой гензелизации. Например, строгая гензелизация поля p -адических чисел задается максимальным неразветвленным расширением, порожденным всеми корнями из единицы порядка, простыми с p . Он не «универсален», поскольку имеет нетривиальные автоморфизмы.

Примеры

• Каждое поле является гензелевым локальным кольцом. (Но не каждое поле с оценкой является «гензелевским» в смысле четвертого определения, приведенного выше.)
• Полные хаусдорфовы локальные кольца, такие как кольцо p -адических целых чисел и кольца формальных степенных рядов над полем, являются гензелевыми.
• Кольца сходящихся степенных рядов над действительными или комплексными числами являются гензелевыми.
• Кольца алгебраических степенных рядов над полем гензелевы.
• Локальное кольцо, целое над гензелевым кольцом, является гензелевым.
• Гензелизация локального кольца является гензелевым локальным кольцом.
• Каждое частное гензелева кольца является гензелевым.
• Кольцо A является гензелевым тогда и только тогда, когда ассоциированное с ним приведенное кольцо A _red является гензелевым (это фактор A по идеалу нильпотентных элементов ).
• Если A имеет только один простой идеал , то он гензелев, поскольку A _red — поле.

Ссылки

• Адзумая, Горо (1951), «О максимально центральных алгебрах». , Нагойский математический журнал , 2 : 119–150, doi : 10.1017/s0027763000010114 , ISSN   0027-7630 , MR   0040287
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Кольцо Гензеля» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Гротендик, Александр (1967), «Элементы алгебраической геометрии (написанные в сотрудничестве с Жаном Дьедонне): IV. Локальное исследование диаграмм и морфизмов диаграмм, Четвертая часть» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–361, дои : 10.1007/BF02732123
• Курке, Х.; Пфистер, Г.; Роцен, М. (1975), Кольца Гензеля и алгебраическая геометрия , Математические монографии, том. II, Берлин: Немецкое издательство наук VEB , MR   0491694
• Нагата, Масаеши (1953), «К теории гензелевых колец» , Nagoya Mathematical Journal , 5 : 45–57, doi : 10.1017/s0027763000015439 , ISSN   0027-7630 , MR   0051821
• Нагата, Масаеши (1954), «К теории гензелевых колец. II» , Nagoya Mathematical Journal , 7 : 1–19, doi : 10.1017/s002776300001802x , ISSN   0027-7630 , MR   0067865
• Нагата, Масаёси (1959), «К теории гензелевых колец. III» , Мемуары научного колледжа Киотского университета. Серия А: Математика , 32 : 93–101, doi : 10.1215/kjm/1250776700 , MR   0109835
• Нагата, Масаеши (1975) [1962], Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13 (переиздание), Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, стр. xiii + 234, ISBN.  978-0-88275-228-0 , МР   0155856
• Рейно, Мишель (1970), Гензелевы локальные кольца , Конспекты лекций по математике, том. 169, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. v+129, номер домена : 10.1007/BFb0069571 , ISBN  978-3-540-05283-8 , МР   0277519