Hasse - теорема Минковски

2-АДИЧНЫЕ Целы. Показ всех 2-АДИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ будет включать в себя бесконечную последовательность комков, движущихся слева от фигуры.

Два завершения рациональных чисел, диадические числа (здесь показаны только диадические целые числа) и реальные числа . Теорема Hasse-Minkowski дает взаимосвязь между квадратичными формами в численном поле и в завершении поля числа.

Теорема Хассе -Минковского является фундаментальным результатом в теории чисел , которая утверждает, что две квадратичные формы по количеству поля эквивалентны, если и только если они эквивалентны локально во всех местах , т.е. эквивалентно каждому топологическому завершению поля (что может быть реальным , комплекс или P-ADIC ). Связанный результат заключается в том, что квадратичное пространство по количественному полю является изотропным, если и только тогда, когда оно является изотропным локально везде или, эквивалентно, квадратичная форма над численным полем, не связанного с полем, представляет нулю, если и только тогда, когда это сохраняется для всех завершений поля. Полем Теорема была доказана в случае области рациональных чисел Германом Минковски и обобщенным на поля Helmut Hasse . То же самое утверждение содержится еще более общепринятым для всех глобальных областей .

Важность

Важность теоремы Хассе-Минковского заключается в представленной ею новой парадигме для ответа на арифметические вопросы: чтобы определить, имеет ли уравнение определенного типа решение в рациональных числах, достаточно проверить, имеет ли оно решения над полными полями. действительных и p -адических чисел, где можно применить аналитические методы, такие как метод Ньютона и его p -адический аналог, лемма Гензеля . Это первый значительный пример локально-глобального принципа , одного из самых фундаментальных методов арифметической геометрии .

Применение к классификации квадратичных форм

Теорема Hasse -Minkowski уменьшает проблему классификации квадратичных форм по количеству поля K до эквивалентности набору аналогичных, но гораздо более простых вопросов по локальным полям . Основными инвариантами нерезинговой квадратичной формы являются его измерение , которое является положительным целым числом, и его дискриминантная модуля квадратов в K , который является элементом мультипликативной группы K ^*/ K ^*2Полем Кроме того, для каждого места V из K инвариант исходит от завершения k _v . В зависимости от выбора V , это завершение может быть реальными числами R , комплексными числами C или поле P-ADIC , каждое из которых имеет различные виды инвариантов:

Дело Р. По закону инерции Сильвестра сигнатура (или, альтернативно, отрицательный индекс инерции) является полным инвариантом.
Дело С. Все неособые квадратичные формы одной размерности эквивалентны.
Случай Qp _и его алгебраических расширений . Формы одной и той же размерности классифицируются с точностью до эквивалентности по их инварианту Хассе .

Эти инварианты должны удовлетворять некоторым условиям совместимости: отношению четности (знак дискриминанта должен соответствовать отрицательному индексу инерции) и формуле произведения (локально-глобальное отношение). Обратно, для любого набора инвариантов, удовлетворяющих этим соотношениям, существует квадратичная форма над K с этими инвариантами.

Ссылки

Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Кембриджские трактаты по математике. Том. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40475-4 . Збл 0785.11021 .
Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики . Тексты для аспирантов по математике . Том. 7. Шпрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90040-3 . Збл 0256.12001 .