Локально компактное поле

В алгебре локально компактное поле — это топологическое поле , топология которого образует локально компактное хаусдорфово пространство . Поля такого типа были первоначально введены в p-адический анализ, поскольку поля $\mathbb {Q} _{p}$ — локально компактные топологические пространства, построенные по норме $|\cdot |_{p}$ на $\mathbb {Q}$. Топология (и структура метрического пространства) важна, поскольку позволяет строить аналоги полей алгебраических чисел в p-адическом контексте.

Структура

Конечномерные векторные пространства

Одна из полезных структурных теорем для векторных пространств над локально компактными полями состоит в том, что конечномерные векторные пространства имеют только класс эквивалентности нормы: норму sup. ^{стр. 58-59} .

Конечные расширения полей

Учитывая конечное расширение поля $K/F$ над локально компактным полем $F$, существует не более одной уникальной нормы поля $|\cdot |_{K}$ на $K$ расширение нормы поля $|\cdot |_{F}$; то есть,

$|f|_{K}=|f|_{F}$

для всех $f\in K$ что на изображении $F\hookrightarrow K$. Заметим, что это следует из предыдущей теоремы и следующего трюка: если $||\cdot ||_{1},||\cdot ||_{2}$ две эквивалентные нормы, и

$||x||_{1}<||x||_{2}$

тогда для фиксированной константы $c_{1}$ существует $N_{0}\in \mathbb {N}$ такой, что

$\left({\frac {||x||_{1}}{||x||_{2}}}\right)^{N}<{\frac {1}{c_{1}}}$

для всех $N\geq N_{0}$ поскольку последовательность, порожденная степенями $N$ сходиться к $0$.

Галуа

Если индекс расширения имеет степень $n=[K:F]$ и $K/F$ является расширением Галуа (поэтому все решения минимального полинома любого $a\in K$ также содержится в $K$) то единственная норма поля $|\cdot |_{K}$ можно построить, используя норму поля ^{стр. 61} . Это определяется как

$|a|_{K}=|N_{K/F}(a)|^{1/n}$

Обратите внимание, что корень n-й степени необходим для того, чтобы иметь четко определенную норму поля, распространяющую ее на $F$ с тех пор, как было дано какое-либо $f\in K$ в образе $F\hookrightarrow K$ это норма

$N_{K/F}(f)=\det m_{f}=f^{n}$

поскольку он действует как скалярное умножение на $F$-векторное пространство $K$.

Примеры

Конечные поля

Все конечные поля локально компактны, поскольку их можно снабдить дискретной топологией. В частности, любое поле с дискретной топологией локально компактно, поскольку каждая точка является окрестностью самой себя, а также замыканием окрестности, следовательно, компактна.

Локальные поля

Основным примером локально компактных полей являются p-адические рациональные числа. $\mathbb {Q} _{p}$ и конечные расширения $K/\mathbb {Q} _{p}$. Каждое из них является примером локальных полей . Обратите внимание на алгебраическое замыкание ${\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$ и его завершение $\mathbb {C} _{p}$ являются не локально компактными полями ^{стр. 72} со стандартной топологией.

Расширения полей Q _p

Расширения полей $K/\mathbb {Q} _{p}$ можно найти, воспользовавшись леммой Гензеля . Например, $f(x)=x^{2}-7=x^{2}-(2+1\cdot 5)$ не имеет решений в $\mathbb {Q} _{5}$ с

${\frac {d}{dx}}(x^{2}-5)=2x$

равен только нулю мод. $p$ если $x\equiv 0{\text{ }}(p)$, но $x^{2}-7$ не имеет мода решений $5$. Следовательно $\mathbb {Q} _{5}({\sqrt {7}})/\mathbb {Q} _{5}$ является квадратичным расширением поля.

См. также

• Компактная группа - Топологическая группа с компактной топологией.
• Полное поле — алгебраическая структура, полная относительно метрики. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Локальное поле – Локально компактное топологическое поле.
• Локально компактная группа - топологическая группа G, для которой базовая топология является локально компактной и хаусдорфовой, так что можно определить меру Хаара. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Локально компактная квантовая группа – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Разветвление локальных полей
• Топологическая абелева группа - понятие в математике. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое поле — алгебраическая структура со сложением, умножением и делением. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Топологическая группа - Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Топологический модуль
• Топологическое кольцо - кольцо, в котором операции кольца непрерывны. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическая полугруппа - полугруппа с непрерывной работой. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Внешние ссылки

• Трюк с неравенством https://math.stackexchange.com/a/2252625