Конечные расширения локальных полей

В алгебраической теории чисел , посредством завершения, изучение ветвления простого идеала часто может быть сведено к случаю локальных полей , где более детальный анализ может быть проведен с помощью таких инструментов, как группы ветвления .

В этой статье локальное поле неархимедово и имеет конечное поле вычетов .

Неразветвленное расширение

Позволять $L/K$ — конечное расширение Галуа неархимедовых локальных полей с конечными полями вычетов $\ell /k$ и группа Галуа $G$ . Тогда следующие утверждения эквивалентны.

(я) $L/K$ является неразветвленным .
(ii) ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}$ это поле, где ${\mathfrak {p}}$ является максимальным идеалом ${\mathcal {O}}_{K}$ .
(iii) $[L:K]=[\ell :k]$
(iv) Инерционная подгруппа $G$ тривиально.
(v) Если $\pi$ является униформизирующим элементом $K$ , затем $\pi$ также является униформизирующим элементом $L$ .

Когда $L/K$ неразветвлен согласно (iv) (или (iii)), G можно отождествить с $\operatorname {Gal} (\ell /k)$ , который является конечным циклическим .

Из вышеизложенного следует, что существует эквивалентность категорий между конечными неразветвленными расширениями локального поля K и конечными сепарабельными расширениями поля вычетов поля K .

Полностью разветвленное расширение

Опять же, пусть $L/K$ — конечное расширение Галуа неархимедовых локальных полей с конечными полями вычетов $l/k$ и группа Галуа $G$ . Следующие действия эквивалентны.

$L/K$ разветвлен полностью
$G$ совпадает с его инерционной подгруппой.
$L=K[\pi ]$ где $\pi$ является корнем многочлена Эйзенштейна .
Норма $N(L/K)$ содержит униформизатор $K$ .

См. также

Ссылки

Кассельс, JWS (1986). Локальные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 3. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31525-5 . Збл 0595.12006 .
Вайс, Эдвин (1976). Алгебраическая теория чисел (2-е неизмененное изд.). Издательство Челси . ISBN 0-8284-0293-0 . Збл 0348.12101 .