Заполните поле

В математике полное поле — это поле, снабженное метрикой и полное относительно этой метрики. Основные примеры включают действительные числа , комплексные числа и поля с полными значениями (например, p -адические числа ).

Конструкции [ править ]

Действительные и комплексные числа [ править ]

Действительные числа — это поля со стандартной евклидовой метрикой. $|x-y|$ . Поскольку он построен после завершения $\mathbb {Q}$ по этой метрике это полное поле. Расширение действительных чисел путем их алгебраического замыкания дает поле $\mathbb {C}$ (поскольку его абсолютная группа Галуа равна $\mathbb {Z} /2$ ). В этом случае, $\mathbb {C}$ также является полным полем, но во многих случаях это не так.

я имею в виду [ править ]

p-адические числа строятся из $\mathbb {Q}$ используя p-адическое абсолютное значение

$v_{p}(a/b)=v_{p}(a)-v_{p}(b)$

где $a,b\in \mathbb {Z} .$ Затем, используя факторизацию $a=p^{n}c$ где $p$ не делит $c,$ его оценка является целым числом $n$ . Завершение $\mathbb {Q}$ к $v_{p}$ это полное поле $\mathbb {Q} _{p}$ называются p-адическими числами. Это тот случай, когда поле ^[1] не является алгебраически замкнутым. Как правило, процесс заключается в снятии отделяемой крышки и последующем ее повторном завершении. Обычно это поле обозначается $\mathbb {C} _{p}.$

Функциональное поле кривой [ править ]

Для функционального поля $k(X)$ кривой $X/k,$ каждая точка $p\in X$ соответствует абсолютному значению или месту , $v_{p}$ . Учитывая элемент $f\in k(X)$ выраженный дробью $g/h,$ место $v_{p}$ измеряет исчезновения порядок $g$ в $p$ минус порядок исчезновения $h$ в $p.$ Затем завершение $k(X)$ в $p$ дает новое поле. Например, если $X=\mathbb {P} ^{1}$ в $p=[0:1],$ начало координат в аффинной диаграмме $x_{1}\neq 0,$ затем завершение $k(X)$ в $p$ изоморфно кольцу степенного ряда $k((x)).$

Ссылки [ править ]

^ Коблиц, Нил. (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 52–75. ISBN 978-1-4612-1112-9 . OCLC 853269675 .

См. также [ править ]

Завершение (алгебра) - в алгебре любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях, которые приводят к созданию полных топологических колец и модулей.
Полное топологическое векторное пространство - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
Лемма Гензеля - Результат модульной арифметики
Кольцо Гензеля - локальное кольцо, в котором лемма Хенселя содержит
Компактная группа - Топологическая группа с компактной топологией.
Локально компактное поле
Локально компактная квантовая группа – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам.
Локально компактная группа - топологическая группа G, для которой базовая топология является локально компактной и хаусдорфовой, так что можно определить меру Хаара.
Упорядоченное топологическое векторное пространство
Теорема Островского - О всех абсолютных значениях рациональных чисел.
Топологическая абелева группа - понятие в математике.
Топологическое поле — алгебраическая структура со сложением, умножением и делением.
Топологическая группа - Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
Топологический модуль
Топологическое кольцо – кольцо, в котором операции кольца непрерывны.
Топологическая полугруппа - полугруппа с непрерывной работой.
Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Эта абстрактной алгебре статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Коблиц, Нил. (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 52–75. ISBN 978-1-4612-1112-9 . OCLC 853269675 .

[1]