I -адическая топология

В коммутативной алгебре , математическом изучении коммутативных колец , адические топологии представляют собой семейство топологий на базовом множестве модуля , обобщающее $p$ -адические топологии на целые числа .

Определение

Пусть $R$ — коммутативное кольцо и $M —$ -модуль $R$ . Тогда каждый идеал $𝔞$ кольца $R$ определяет топологию на $M,$ называемую $𝔞$ -адической топологией, характеризуемую псевдометрикой $d(x,y)=2^{-\sup {\{n\mid x-y\in {\mathfrak {a}}^{n}M\}}}.$ Семья $\{x+{\mathfrak {a}}^{n}M:x\in M,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}$ является основой этой топологии. ^[1]

Характеристики

Что касается топологии, модульные операции сложения и скалярного умножения непрерывны , так что $M$ становится топологическим модулем . Однако $М$ не обязательно должен быть Хаусдорфом ; это Хаусдорф тогда и только тогда, когда $\bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}M}=0{\text{,}}$ так что $d$ становится настоящей метрикой . В соответствии с обычной терминологией в топологии, где хаусдорфово пространство также называется разделенным, в этом случае $𝔞$ -адическая топология называется разделенной . ^[1]

По теореме Крулла о пересечении , если $R$ — нётерово кольцо , которое является областью целостности или локальным кольцом , то верно, что $\bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}}=0$ для любого собственного идеала $𝔞$ кольца $R$ . Таким образом, при этих условиях для любого собственного идеала $𝔞$ кольца $R$ и любого $R$ -модуля $M$ 𝔞 $-адическая$ топология на $M$ отделяется.

Для подмодуля $N$ модуля $M$ канонический -адической топологией гомоморфизм в $M / N$ индуцирует фактортопологию , совпадающую с $𝔞$ . Аналогичный результат не обязательно верен для самого подмодуля $N$ : топология подпространства не обязательно должна быть $𝔞$ -адической топологией. Однако две топологии совпадают, когда $,$ а R нётерово M $конечно$ порождено . Это следует из леммы Артина-Риса . ^[2]

Завершение

Когда $M$ хаусдорфово, $M$ можно пополнить как метрическое пространство; полученное пространство обозначается ${\widehat {M}}$ и имеет модульную структуру, полученную путем расширения операций модуля за счет непрерывности. Это также то же самое (или канонически изоморфно ): ${\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M$ где правая часть представляет собой предел фактормодулей обратный при естественном проектировании. ^[3]

Например, пусть $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ — кольцо полиномов над полем $k$ и $𝔞 = (x 1, ..., x n)$ (единственный) однородный максимальный идеал . Затем ${\hat {R}}=k[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ , кольцо формальных степенных рядов над $k$ от $n$ переменных. ^[4]

Закрытые подмодули

Как следствие вышесказанного, $𝔞$ -адическое замыкание подмодуля $N\subseteq M$ является ${\textstyle {\overline {N}}=\bigcap _{n>0}{(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}{\text{.}}}$ ^[5] Это замыкание совпадает с $N$ , если $R$ 𝔞 $-адически$ полно, а $M$ конечно порождено. ^[6]

$R$ называется Зариским относительно $𝔞$ , если каждый идеал в $R$ -адически замкнут $𝔞$ . Есть характеристика:

R

является Зариским относительно

𝔞

тогда и только тогда, когда

содержится

в радикале Джекобсона R

𝔞

.

В частности, нётерово локальное кольцо является Зариским относительно максимального идеала. ^[7]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Сингх 2011 , с. 147.
^ Сингх 2011 , с. 148.
^ Сингх 2011 , стр. 148–151.
^ Сингх 2011 , задача 8.16.
^ Сингх 2011 , задача 8.4.
^ Сингх 2011 , проблема 8.8.
^ Атья и Макдональд 1969 , с. 114, упражнение 6.

Источники

Сингх, Балвант (2011). Основная коммутативная алгебра . Сингапур/Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-4313-61-2 .
Атья, МФ ; Макдональд, IG (1969). Введение в коммутативную алгебру . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли.

[FOOTNOTESingh2011147-1] Jump up to: ^а ^б Сингх 2011 , с. 147.

[FOOTNOTESingh2011148-2] Сингх 2011 , с. 148.

[FOOTNOTESingh2011148–151-3] Сингх 2011 , стр. 148–151.

[4] Сингх 2011 , задача 8.16.

[5] Сингх 2011 , задача 8.4.

[6] Сингх 2011 , проблема 8.8.

[7] Атья и Макдональд 1969 , с. 114, упражнение 6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]