Теоремы об изоморфизме

В математике , особенно в абстрактной алгебре , теоремы об изоморфизме (также известные как теоремы об изоморфизме Нётер ) — это теоремы , описывающие отношения между факторами , гомоморфизмами и подобъектами . Версии теорем существуют для групп , колец , векторных пространств , модулей , алгебр Ли и различных других алгебраических структур . В универсальной алгебре теоремы об изоморфизме могут быть обобщены на контекст алгебр и сравнений .

История

Теоремы об изоморфизме были сформулированы в некоторой общности для гомоморфизмов модулей Эмми Нётер в ее статье « Абстрактная структура идеальной теории в алгебраических числах и функциональных полях» , которая была опубликована в 1927 году в журнале «Математические анналы» . Менее общие версии этих теорем можно найти в работах Рихарда Дедекинда и предыдущих статьях Нётер.

Три года спустя Б.Л. ван дер Варден опубликовал свою влиятельную «Современную алгебру» , первый учебник абстрактной алгебры применялся подход «группы - кольца - поля» , в котором к этому предмету Ван дер Варден назвал лекции Нётер по теории групп и Эмиля Артина по алгебре, а также семинар, проведенный Артином, Вильгельмом Блашке , Отто Шрайером и самим ван дер Варденом по идеалам . В качестве основных источников . Три теоремы об изоморфизме, называемые теоремой о гомоморфизме , и два закона изоморфизма при применении к группам появляются явно.

Группы

Сначала мы приведем теоремы об изоморфизме групп .

Теорема А (группы)

Смотрите также: Основная теорема о гомоморфизмах.

Схема основной теоремы о гомоморфизмах

Пусть G и H — группы, и пусть f : G → H — гомоморфизм . Затем:

1. Ядро ​ f G является нормальной подгруппой ​ ,
2. Образ ​ f H является подгруппой ​ ​ и
3. Образ f изоморфен / ker факторгруппе f G ( ) .

В частности, если f сюръективен , то H изоморфен G /ker( f ).

Эту теорему обычно называют первой теоремой об изоморфизме .

Теорема Б (группы)

Схема к теореме B4. Две факторгруппы (пунктирные) изоморфны.

Позволять $G$ быть группой. Позволять $S$ быть подгруппой $G$, и пусть $N$ быть нормальной подгруппой $G$. Тогда имеют место следующие положения:

1. Продукт ​ $SN$ является подгруппой $G$,
2. Подгруппа $N$ является нормальной подгруппой $SN$,
3. Пересечение ​ $S\cap N$ является нормальной подгруппой $S$, и
4. Факторгруппы $(SN)/N$ и $S/(S\cap N)$ изоморфны.

Технически в этом нет необходимости $N$ быть нормальной подгруппой, пока $S$ подгруппой нормализатора является $N$ в $G$. В этом случае, $N$ не является нормальной подгруппой $G$, но $N$ все еще является нормальной подгруппой продукта $SN$.

Эту теорему иногда называют второй теоремой об изоморфизме . алмазная теорема или теорема о параллелограмме .

Применение второй теоремы об изоморфизме идентифицирует проективные линейные группы : например, группа на комплексной проективной прямой начинается с установки $G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )$, группа обратимых размера 2 × 2 комплексных матриц , $S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )$, подгруппа матриц определителя 1 и $N$ нормальная подгруппа скалярных матриц $\mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}$, у нас есть $S\cap N=\{\pm I\}$, где $I$ – единичная матрица , и $SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )$. Тогда вторая теорема об изоморфизме утверждает, что:

$\operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )$

Теорема C (группы)

Позволять $G$ быть группой, и $N$ нормальная подгруппа $G$. Затем

1. Если $K$ является подгруппой $G$ такой, что $N\subseteq K\subseteq G$, затем $G/N$ имеет подгруппу, изоморфную $K/N$.
2. Каждая подгруппа $G/N$ имеет форму $K/N$ для какой-то подгруппы $K$ из $G$ такой, что $N\subseteq K\subseteq G$.
3. Если $K$ является нормальной подгруппой $G$ такой, что $N\subseteq K\subseteq G$, затем $G/N$ имеет нормальную подгруппу, изоморфную $K/N$.
4. Каждая нормальная подгруппа $G/N$ имеет форму $K/N$ для некоторой нормальной подгруппы $K$ из $G$ такой, что $N\subseteq K\subseteq G$.
5. Если $K$ является нормальной подгруппой $G$ такой, что $N\subseteq K\subseteq G$, то факторгруппа $(G/N)/(K/N)$ изоморфен $G/K$.

Последнее утверждение иногда называют третьей теоремой об изоморфизме . Первые четыре утверждения часто подпадают под приведенную ниже теорему D и называются теоремой о решетке , теоремой о соответствии или четвертой теоремой об изоморфизме .

Теорема D (группы)

Основная статья: Теорема о решетке

Позволять $G$ быть группой, и $N$ нормальная подгруппа $G$. Канонический гомоморфизм проекций $G\rightarrow G/N$ определяет биективное соответствие между множеством подгрупп $G$ содержащий $N$ и множество (всех) подгрупп $G/N$. При этом соответствии нормальные подгруппы соответствуют нормальным подгруппам.

Эту теорему иногда называют теоремой соответствия , теоремой о решетке и четвертой теоремой об изоморфизме .

Лемму Цассенхауза (также известную как лемма о бабочке) иногда называют четвертой теоремой об изоморфизме.

Обсуждение

Первую теорему об изоморфизме можно выразить на языке теории категорий , сказав, что категория групп (нормальная эпи, моно)-факторизуемая; другими словами, эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации категории . нормальные Это отражено на коммутативной диаграмме на полях, где показаны объекты и морфизмы , существование которых можно вывести из морфизма $f:G\rightarrow H$. Диаграмма показывает, что каждый морфизм в категории групп имеет ядро ​​в теоретико-категориальном смысле; произвольный морфизм f разлагается на $\iota \circ \pi$, где ι — мономорфизм, а π — эпиморфизм (в конормальной категории все эпиморфизмы нормальны). На схеме это представлено объектом $\ker f$ и мономорфизм $\kappa :\ker f\rightarrow G$ (ядра всегда являются мономорфизмами), которые завершают короткую точную последовательность , идущую из нижнего левого угла диаграммы в правый верхний. Использование соглашения о точной последовательности избавляет нас от необходимости рисовать нулевые морфизмы из $\ker f$ к $H$ и $G/\ker f$.

Если последовательность расщепляется справа (т. е. существует морфизм σ , который отображает $G/\operatorname {ker} f$ к π своему -прообразу), то G — полупрямое произведение нормальной подгруппы $\operatorname {im} \kappa$ и подгруппа $\operatorname {im} \sigma$. Если оно расщеплено слева (т. е. существует некоторое $\rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f$ такой, что $\rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}$), то оно также должно быть расщеплено справа, и $\operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma$ является произведения прямым разложением G . В общем, существование правого раскола не подразумевает существование левого раскола; но в абелевой категории (например, в абелевых группах ) левое и правое расщепления эквивалентны согласно лемме о расщеплении , а правого разделения достаточно, чтобы произвести в прямую сумму разложение $\operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma$. В абелевой категории все мономорфизмы также нормальны, и диаграмму можно расширить второй короткой точной последовательностью $0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0$.

Во второй теореме об изоморфизме произведение SN является соединением S а и N в решетке подгрупп группы G , пересечение S ∩ N является пересечением .

Третья теорема об изоморфизме обобщается девятью леммами на абелевы категории и более общие отображения между объектами.

Примечание к номерам и именам

Ниже мы представляем четыре теоремы, обозначенные A, B, C и D. Их часто нумеруют как «Первая теорема об изоморфизме», «Вторая...» и так далее; однако универсального соглашения по нумерации не существует. Здесь мы приведем несколько примеров теорем об изоморфизме групп, встречающихся в литературе. Обратите внимание, что эти теоремы имеют аналоги для колец и модулей.

Сравнение названий теорем группового изоморфизма

Комментарий	Автор	Теорема А	Теорема Б	Теорема С
Никакой «третьей» теоремы	Джейкобсон	Основная теорема о гомоморфизмах	( Вторая теорема об изоморфизме )	«часто называемая первой теоремой об изоморфизме»
	ван дер Варден, Дурбин	Основная теорема о гомоморфизмах	Первая теорема об изоморфизме	Вторая теорема об изоморфизме
	Мигер	( Без имени )	Вторая теорема об изоморфизме	Первая теорема об изоморфизме
	Жареный	Теорема о гомоморфизме	Вторая теорема об изоморфизме	Первая теорема об изоморфизме
Три пронумерованные теоремы	( Другие конвенции для Гриле )	Первая теорема об изоморфизме	Третья теорема об изоморфизме	Вторая теорема об изоморфизме
	Ротман	Первая теорема об изоморфизме	Вторая теорема об изоморфизме	Третья теорема об изоморфизме
	Фрели	Фундаментальная теорема о гомоморфизме или первая теорема об изоморфизме	Вторая теорема об изоморфизме	Третья теорема об изоморфизме
	Даммит и Фут	Первая теорема об изоморфизме	Вторая или теорема об изоморфизме алмаза	Третья теорема об изоморфизме
Нет нумерации	Милн	Теорема о гомоморфизме	Теорема об изоморфизме	Теорема о соответствии
	Скотт	Теорема о гомоморфизме	Теорема об изоморфизме	Теорема первокурсника

Реже теорему D, обычно известную как теорема о решетке или теорема о соответствии , включают в качестве одной из теорем изоморфизма, но если она включена, то она является последней.

Кольца

Формулировки теорем для колец аналогичны, с заменой понятия нормальной подгруппы понятием идеала .

Теорема А (кольца)

Позволять $R$ и $S$ быть кольцами, и пусть $\varphi :R\rightarrow S$ — кольцевой гомоморфизм . Затем:

1. Ядро ​ ​ $\varphi$ является идеалом $R$,
2. Образ ​ ​ $\varphi$ является подкольцом ​ $S$, и
3. Образ $\varphi$ изоморфно ​ факторкольцу ​ $R/\ker \varphi$.

В частности, если $\varphi$ тогда сюръективно $S$ изоморфен $R/\ker \varphi$.

Теорема Б (кольца)

Пусть R — кольцо. Пусть S — подкольцо R и I — идеал R. кольца Затем:

1. Сумма = S + I { s + i | s ∈ S , i ∈ I } — подкольцо R ,
2. Пересечение S ∩ I является идеалом S , и
3. Факторкольца ( S + I )/ I и S / ( S ∩ I ) изоморфны.

Теорема C (кольца)

Пусть R — , а I — идеал кольца R. кольцо Затем

1. Если $A$ является подкольцом $R$ такой, что $I\subseteq A\subseteq R$, затем $A/I$ является подкольцом $R/I$.
2. Каждое подкольцо $R/I$ имеет форму $A/I$ для некоторого подкольца $A$ из $R$ такой, что $I\subseteq A\subseteq R$.
3. Если $J$ является идеалом $R$ такой, что $I\subseteq J\subseteq R$, затем $J/I$ является идеалом $R/I$.
4. Каждый идеал $R/I$ имеет форму $J/I$ для какого-то идеала $J$ из $R$ такой, что $I\subseteq J\subseteq R$.
5. Если $J$ является идеалом $R$ такой, что $I\subseteq J\subseteq R$, то факторкольцо $(R/I)/(J/I)$ изоморфен $R/J$.

Теорема D (кольца)

Позволять $I$ быть идеалом $R$. Переписка $A\leftrightarrow A/I$ является сохраняющей включение биекцией между множеством подколец $A$ из $R$ которые содержат $I$ и множество подколец $R/I$. Более того, $A$ (подкольцо, содержащее $I$) является идеалом $R$ тогда и только тогда, когда $A/I$ является идеалом $R/I$.

Модули

Формулировки теорем об изоморфизме модулей можно образовать фактормодуль особенно просты, так как из любого подмодуля . Теоремы изоморфизма для векторных пространств (модулей над полем ) и абелевых групп (модулей над полем) . $\mathbb {Z}$) являются частными случаями из них. Для конечномерных векторных пространств все эти теоремы следуют из теоремы о ранге-нулевости .

В дальнейшем «модуль» будет означать « R для некоторого фиксированного кольца R. -модуль »

Теорема А (модули)

Пусть M и N — модули, и пусть φ : M → N — гомоморфизм модулей . Затем:

1. Ядро ​ φ M подмодулем является ,
2. Образ ​ φ N подмодулем и является
3. Образ φ изоморфен ker фактормодулю φ M ( / ).

В частности, если φ сюръективен, то N изоморфен M /ker( φ ).

Теорема Б (модули)

Пусть M — модуль, а S и T — подмодули M . Затем:

1. Сумма S + T = { s + t | s ∈ S , t ∈ T } — подмодуль M ,
2. Пересечение S ∩ T является подмодулем M и
3. Фактормодули ( S + T )/ T и S /( S ∩ T ) изоморфны.

Теорема C (модули)

Пусть M — модуль, T — подмодуль M .

1. Если $S$ является подмодулем $M$ такой, что $T\subseteq S\subseteq M$, затем $S/T$ является подмодулем $M/T$.
2. Каждый субмодуль $M/T$ имеет форму $S/T$ для какого-то подмодуля $S$ из $M$ такой, что $T\subseteq S\subseteq M$.
3. Если $S$ является подмодулем $M$ такой, что $T\subseteq S\subseteq M$, то фактор-модуль $(M/T)/(S/T)$ изоморфен $M/S$.

Теорема D (модули)

Позволять $M$ быть модулем, $N$ подмодуль $M$. Между подмодулями существует биекция $M$ которые содержат $N$ и подмодули $M/N$. Переписка предоставлена $A\leftrightarrow A/N$ для всех $A\supseteq N$. Это соответствие коммутирует с процессами взятия сумм и пересечений (т. е. является решеточным изоморфизмом между решеткой подмодулей $M/N$ и решетку подмодулей $M$ которые содержат $N$).

Универсальная алгебра

Чтобы обобщить это на универсальную алгебру , нормальные подгруппы необходимо заменить отношениями конгруэнтности .

Сравнение ​ на алгебре $A$ является отношением эквивалентности $\Phi \subseteq A\times A$ которая образует подалгебру $A\times A$ рассматривается как алгебра с покомпонентными операциями. Можно составить набор классов эквивалентности $A/\Phi$ в алгебру того же типа, определив операции через представителей; это будет четко определено, поскольку $\Phi$ является подалгеброй $A\times A$. Полученная структура является факторалгеброй .

Теорема А (универсальная алгебра)

Позволять $f:A\rightarrow B$ алгебры — гомоморфизм . Тогда образ $f$ является подалгеброй $B$, соотношение, заданное $\Phi :f(x)=f(y)$ ( ядро т.е. $f$) является сравнением на $A$, и алгебры $A/\Phi$ и $\operatorname {im} f$ изоморфны ​ . (Обратите внимание, что в случае группы $f(x)=f(y)$ если только $f(xy^{-1})=1$, поэтому восстанавливается понятие ядра, используемое в теории групп в этом случае.)

Теорема B (универсальная алгебра)

Учитывая алгебру $A$, подалгебра $B$ из $A$, и соответствие $\Phi$ на $A$, позволять $\Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)$ быть следом $\Phi$ в $B$ и $[B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}$ совокупность классов эквивалентности, которые пересекаются $B$. Затем

1. $\Phi _{B}$ является соответствием $B$,
2. $\ [B]^{\Phi }$ является подалгеброй $A/\Phi$, и
3. алгебра $[B]^{\Phi }$ изоморфна алгебре $B/\Phi _{B}$.

Теорема C (универсальная алгебра)

Позволять $A$ быть алгеброй и $\Phi ,\Psi$ два отношения конгруэнтности на $A$ такой, что $\Psi \subseteq \Phi$. Затем $\Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}$ является соответствием $A/\Psi$, и $A/\Phi$ изоморфен $(A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).$

Теорема D (универсальная алгебра)

Позволять $A$ — алгебра и обозначим $\operatorname {Con} A$ множество всех сравнений на $A$. Набор $\operatorname {Con} A$ является полной решеткой, упорядоченной по включению. Если $\Phi \in \operatorname {Con} A$ является сравнением, и мы обозначаем через $\left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A$ множество всех сравнений, содержащих $\Phi$ (т.е. $\left[\Phi ,A\times A\right]$ является основным фильтром в $\operatorname {Con} A$, причем это подрешетка), то карта $\alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi$ является решеточным изоморфизмом.

Ссылки

• Нётер, Эмми , Абстрактная структура идеальной теории в алгебраических числах и функциональных полях , Mathematical Annals 96 (1927), стр. 26–61.
• МакЛарти, Колин , «Теоретико-множественная топология Эмми Нётер: от Дедекинда к появлению функторов». Архитектура современной математики: Очерки истории и философии (под редакцией Джереми Грея и Хосе Феррейроса), Oxford University Press (2006), стр. 211–35.
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN  9780486471891
• Кон, Пол М., Универсальная алгебра , Глава II.3 с. 57
• Милн, Джеймс С. (2013), Теория групп , 3.13
• ван дер Варден, BI (1994), Алгебра , вып. 1 (9-е изд.), Springer-Verlag
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN  978-0-471-43334-7 .
• Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, HP (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN  978-0-9880552-0-9 .
• Скотт, WR (1964), Теория групп , Прентис Холл
• Дурбин, Джон Р. (2009). Современная алгебра: Введение (6-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-470-38443-5 .
• Кнапп, Энтони В. (2016), Основная алгебра (второе цифровое издание)
• Грилье, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer
• Ротман, Джозеф Дж. (2003), Advanced Modern Algebra (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN  0130878685
• Хангерфорд, Томас В. (1980), Алгебра (Тексты для выпускников по математике, 73) , Springer, ISBN  0387905189