Нормальный морфизм

В теории категорий и ее приложениях к математике нормальный мономорфизм или конормальный эпиморфизм — это тип морфизма с особенно хорошим поведением . — Нормальная категория это категория, в которой каждый мономорфизм нормален. — Конормальная категория это категория, в которой каждый эпиморфизм конормален.

Определение

Мономорфизм нормален , если он является ядром некоторого морфизма, а эпиморфизм конормален, если он является коядром некоторого морфизма.

Категория C является бинормальной , если она одновременно нормальна и конормальна.Но обратите внимание, что некоторые авторы будут использовать слово «нормальный» только для того, чтобы указать, что C является бинормальным. ^{[ нужна ссылка ]}

Примеры

В категории групп мономорфизм f из H в G нормален тогда и только тогда, когда образ является нормальной подгруппой группы G. его В частности, если H — подгруппа G H , то отображение включения i из H в G мономорфизмом и будет нормальным тогда и только тогда, когда — нормальная подгруппа G. является Фактически, отсюда и произошел термин «нормальный» для мономорфизмов. ^{[ нужна ссылка ]}

С другой стороны, каждый эпиморфизм в категории групп конормален (поскольку он является коядром своего собственного ядра), поэтому эта категория конормальна.

В абелевой категории каждый мономорфизм является ядром своего коядра, а каждый эпиморфизм является коядром своего ядра.Таким образом, абелевы категории всегда бинормальны.Категория абелевых групп является фундаментальным примером абелевой категории, и, соответственно, каждая подгруппа абелевой группы является нормальной подгруппой.

Ссылки

Раздел I.14 Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. Том. 17. Академическая пресса. ISBN 978-0-124-99250-4 . МР 0202787 .