Лемма о расщеплении

В математике и, более конкретно, в гомологической алгебре , лемма о расщеплении утверждает, что в любой абелевой категории следующие утверждения эквивалентны для короткой точной последовательности:

0\longrightarrow A\mathrel {\overset {q}{\longrightarrow }} B\mathrel {\overset {r}{\longrightarrow }} C\longrightarrow 0.

Левый раскол: Существует морфизм $t : B \to A$ такой, что $tq$ — тождество на $A$ , $id A$ ,

Правый раскол: Существует морфизм $u : C \to B$ такой, что $ru$ — тождество на $C$ , $id C$ ,

Прямая сумма: Существует изоморфизм $h$ из $B$ в прямую сумму A $и$ C $,$ такой, что $hq$ — естественная инъекция $A$ в прямую сумму, и $rh^{-1}$ является естественной проекцией прямой суммы на $C$ .

Если любое из этих утверждений выполняется, последовательность называется последовательностью с точным расщеплением , а последовательность называется расщепляемой .

В приведенной выше короткой точной последовательности, где последовательность распадается, можно уточнить первую теорему об изоморфизме , которая гласит, что:

C ≅ B /ker r ≅ B / q (A)

(т.

C

изоморфен кообразу r

.

или коядру q

е

)

к:

B знак равно q (А) \oplus ты (C) ≅ А \oplus C

где первая теорема об изоморфизме — это просто проекция на $C$ .

Это категорическое обобщение теоремы о ранге-пустоте (в форме $V ≅ ker T \oplus im T)$ в линейной алгебре .

Доказательство категории абелевых групп [ править ]

$3. \Rightarrow 1.$ и $3. \Rightarrow 2.$ [ править ]

Во-первых, чтобы показать, что из 3 следует как 1, так и 2, мы предполагаем 3 и возьмем в качестве $t$ естественную проекцию прямой суммы на $A$ , а в качестве $u$ возьмем естественную инъекцию $C$ в прямую сумму.

$1. \Rightarrow 3.$ [ править ]

Чтобы доказать , что из 1. следует 3, сначала заметим, что любой член B находится в множестве ( $ker t + im q$ ). Это следует из того, что для всех $b$ в $B$ , $b = (b - qt (b)) + qt (b)$ ; $qt (b)$ находится в $im q$ , а $b - qt (b)$ находится в $ker t$ , поскольку

т (б - qt (б)) знак равно т (б) - tqt (б) знак равно т (б) - (тq) т (б) знак равно т (б) - т (б) знак равно 0.

Далее, пересечение im $q q$ и $ker t$ равно 0, поскольку если существует $a$ в $A$ такой, что $((a) = b$ и $t 0 b) = 0$ , то $= tq (a) = a$ ; и, следовательно, $b = 0$ .

Это доказывает, что $B$ является прямой суммой $im q$ и $ker t$ . Итак, для всех $b$ в $B$ , $b$ может быть однозначно идентифицирован некоторыми $a$ в $A$ , $k$ в $ker t$ , такими, что $b = q (a) + k$ .

По точности $ker r = im q$ . Подпоследовательность $B ⟶ C ⟶ 0$ подразумевает, что $r$ находится на ; следовательно, для любого $c$ в $C$ существует такой $b = q (a) + k$ , что $c = r (b) = r (q (a) + k) = r (k)$ . Следовательно, для любого c в C существует k в ker t такой, что = r ( k ) и r (ker t ) = C. c

Если $r (k)=0$ , то $k$ находится в $im q$ ; поскольку пересечение $im q$ и $ker t = 0$ , то $k = 0$ . Следовательно, ограничение $r : ker t \to C$ является изоморфизмом; и $ker t$ изоморфен $C$ .

Наконец, $im q$ изоморфен $A$ в силу точности $0 ⟶ A ⟶ B$ ; поэтому B изоморфна прямой сумме $A$ и $C$ , что доказывает (3).

$2. \Rightarrow 3.$ [ править ]

Чтобы показать, что из 2 следует 3, мы следуем аналогичному рассуждению. Любой член $B$ находится в множестве $ker r + im u$ ; поскольку для всех $b$ в $B$ , $b = (b - ur (b)) + ur (b)$ , который находится в $ker r + im u$ . Пересечение $ker r$ и $im u$ равно $0$ , поскольку если $r (b) = 0$ и $u (c) = b$ , то $0 = ru (c) = c$ .

По точности $im q = ker r$ , и поскольку $q$ — инъекция , $im q$ изоморфен $A$ , поэтому $A$ изоморфен $ker r$ . Поскольку $ru$ — биекция , $u$ — инъекция, и, следовательно $im u$ изоморфен $C.$ , Итак, $снова$ является прямой суммой $A$ и $C.$ B

Альтернативное « абстрактное бессмысленное » доказательство леммы о расщеплении можно полностью сформулировать в терминах теории категорий .

Неабелевы группы [ править ]

В изложенной здесь форме лемма о расщеплении не справедлива в полной категории групп , которая не является абелевой категорией.

Частично верно [ править ]

Частично это верно: если короткая точная последовательность групп расщеплена слева или представляет собой прямую сумму (1. или 3.), то все условия выполняются. Для прямой суммы это ясно, поскольку можно вводить или проецировать на слагаемые. Для левой расщепленной последовательности отображение $t \times r : B \to A \times C$ дает изоморфизм, поэтому $B$ является прямой суммой (3.), и, таким образом, обращение изоморфизма и компоновка с естественной инъекцией $C \to A \times C$ дает инъекция $C \to B$ с расщеплением $r$ (2.).

Однако если короткая точная последовательность групп является расщеплением справа (2), то она не обязательно должна быть расщеплением слева или прямой суммой (из этого не следует ни 1, ни 3): проблема в том, что образ правого расщепления не обязательно должен будь нормальным . В этом случае верно то, что $B$ является полупрямым продуктом , хотя вообще не является прямым продуктом .

Контрпример [ править ]

Чтобы сформировать контрпример, возьмем наименьшую неабелеву группу $B ≅ S 3$ , симметричную группу из трех букв. Пусть $A$ обозначает знакопеременную подгруппу и пусть $C = B / A ≅ {\pm1$ }. Пусть $q$ и $r$ обозначают карту включения и карту знаков соответственно, так что

0\longrightarrow A\mathrel {\stackrel {q}{\longrightarrow }} B\mathrel {\stackrel {r}{\longrightarrow }} C\longrightarrow 0

представляет собой короткую точную последовательность. 3. не выполняется, поскольку $S 3$ не абелева, но 2. выполняется: мы можем определить $u : C \to B$ , отображая генератор в любой двухцикл . Обратите внимание для полноты, что 1. не работает: любое отображение $t : B \to A$ должно отображать каждый двухцикл в единицу , поскольку отображение должно быть групповым гомоморфизмом , а порядок двухцикла равен 2, который нельзя разделить на порядок элементов в A отличается от единичного элемента, который равен 3, поскольку $A$ является знакопеременной подгруппой $S 3$ , или, а именно, группой порядка циклической 3. Но каждая перестановка является продуктом двух циклов, поэтому $t$ - это тривиальное отображение, откуда $tq : A \to A$ — тривиальное отображение, а не тождество.

Ссылки [ править ]

Сондерс Мак Лейн : Гомология . Перепечатка издания Springer Classics in Mathematics 1975 года, ISBN 3-540-58662-8 , с. 16
Аллен Хэтчер : Алгебраическая топология . 2002, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0 , с. 147