Лемма о расщеплении (функции)

В математике , особенно в теории особенностей , лемма о расщеплении является полезным результатом Рене Тома , который позволяет упростить локальное выражение функции, обычно применяемое в окрестности вырожденной критической точки .

Официальное заявление

Позволять $f:(\mathbb {R} ^{n},0)\to (\mathbb {R} ,0)$ быть гладким функциональным ростком с критической точкой в 0 (поэтому $(\partial f/\partial x_{i})(0)=0$ для $i=1,\dots ,n$ ). Пусть V подпространство — $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что ограничение f | _V невырожден этого , и запишите B для матрицы Гессе ограничения. Пусть W — любое дополнительное подпространство к V . Затем происходит смена координат $\Phi (x,y)$ формы $\Phi (x,y)=(\phi (x,y),y)$ с $x\in V,y\in W$ и гладкая функция h на W такая, что

f\circ \Phi (x,y)={\frac {1}{2}}x^{T}Bx+h(y).

Этот результат часто называют параметризованной леммой Морса , которую можно увидеть, рассматривая y как параметр. Это градиентная версия теоремы о неявной функции .

Расширения

Имеются расширения до бесконечных измерений, до комплексных аналитических функций , до функций, инвариантных относительно действия компактной группы ,...

Ссылки

Постон, Тим; Стюарт, Ян (1979), Теория катастроф и ее приложения , Питман, ISBN 978-0-273-08429-7 .
Брокер, Т. (1975), Дифференцируемые микробы и катастрофы , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-20681-5 .