Разделить точную последовательность

В математике разделенная точная последовательность — это короткая точная последовательность , в которой средний член строится из двух внешних членов самым простым способом.

характеристики

Короткая точная последовательность абелевых групп или модулей над фиксированным кольцом или, в более общем смысле, объектов абелевой категории.

$0\to A\mathrel {\stackrel {a}{\to }} B\mathrel {\stackrel {b}{\to }} C\to 0$

называется точной расщеплением, если она изоморфна точной последовательности, где средний член является прямой суммой внешних:

$0\to A\mathrel {\stackrel {i}{\to }} A\oplus C\mathrel {\stackrel {p}{\to }} C\to 0$

Требование изоморфности последовательности означает наличие изоморфизма $f:B\to A\oplus C$ такой, что составной $f\circ a$ — естественное включение $i:A\to A\oplus C$ и такой, что составной $p\circ f$ равно б . Это можно резюмировать коммутативной диаграммой следующим образом:

Лемма о расщеплении обеспечивает дальнейшие эквивалентные характеристики расщепляемых точных последовательностей.

Примеры

Тривиальный пример расщепленной короткой точной последовательности:

$0\to M_{1}\mathrel {\stackrel {q}{\to }} M_{1}\oplus M_{2}\mathrel {\stackrel {p}{\to }} M_{2}\to 0$

где $M_{1},M_{2}$ являются R -модулями, $q$ является канонической инъекцией и $p$ является канонической проекцией.

Любая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется точно. Это перефразирование того факта, что любой набор векторов линейно независимых в векторном пространстве можно расширить до базиса .

Точная последовательность $0\to \mathbf {Z} \mathrel {\stackrel {2}{\to }} \mathbf {Z} \to \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0$ (где первая карта представляет собой умножение на 2) не делится точно.

Связанные понятия

Чистые точные последовательности можно охарактеризовать как отфильтрованные копределы расщепленных точных последовательностей.

Источники

• Фукс, Ласло (2015), Абелевы группы , Монографии Спрингера по математике, Springer, ISBN  9783319194226
• Шарп, Р.Ю., Родни (2001), Шаги в коммутативной алгебре, 2-е изд. , Тексты студентов Лондонского математического общества, издательство Кембриджского университета, ISBN  0521646235