Теорема о соответствии

В теории групп теорема соответствия (также теорема о решетке , и разнообразно и неоднозначно третья и четвертая теоремы об изоморфизме ) утверждает, что если $N$ является нормальной группы подгруппой $G$, то существует биекция из множества всех подгрупп $A$ из $G$ содержащий $N$, на множество всех подгрупп факторгруппы $G/N$. Грубо говоря, структура подгрупп $G/N$ точно такое же, как и структура подгрупп $G$ содержащий $N$, с $N$ свернуто до элемента идентификации .

В частности, если

G — группа,

$N\triangleleft G$, нормальная подгруппа группы G ,

${\mathcal {G}}=\{A\mid N\subseteq A<G\}$, множество всех подгрупп A группы G , содержащих N , и

${\mathcal {N}}=\{S\mid S<G/N\}$, множество всех подгрупп G / N ,

тогда существует биективное отображение $\phi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {N}}$ такой, что

$\phi (A)=A/N$ для всех $A\in {\mathcal {G}}.$

Далее, если A и B находятся в ${\mathcal {G}}$ затем

• $A\subseteq B$ тогда и только тогда, когда $A/N\subseteq B/N$;
• если $A\subseteq B$ затем $|B:A|=|B/N:A/N|$, где $|B:A|$ — индекс A ; в B количество смежных классов bA A ( в B )
• $\langle A,B\rangle /N=\left\langle A/N,B/N\right\rangle ,$ где $\langle A,B\rangle$ является подгруппой $G$ созданный ​ $A\cup B;$
• $(A\cap B)/N=A/N\cap B/N$, и
• $A$ является нормальной подгруппой $G$ тогда и только тогда, когда $A/N$ является нормальной подгруппой $G/N$.

Этот список далеко не исчерпывающий. Фактически, большинство свойств подгрупп сохраняются в их образах при биекции на подгруппы факторгруппы.

В более общем смысле существует монотонная связь Галуа. $(f^{*},f_{*})$ между подгрупп решеткой $G$ (не обязательно содержащий $N$) и решетку подгрупп $G/N$: нижний сопряженный подгруппы $H$ из $G$ дается $f^{*}(H)=HN/N$ и верхний сопряженный подгруппы $K/N$ из $G/N$ задано $f_{*}(K/N)=K$. Соответствующий оператор замыкания на подгруппах $G$ является ${\bar {H}}=HN$; связанный оператор ядра на подгруппах $G/N$ это личность. Доказательство теоремы соответствия можно найти здесь .

Аналогичные результаты справедливы для колец , модулей , векторных пространств и алгебр . В более общем плане аналогичный результат , касающийся отношений сравнения вместо нормальных подгрупп, верен для любой алгебраической структуры .

См. также

• Модульная решетка