Индекс подгруппы

В математике , особенно теории групп , индекс подгруппы в H в группе G — это количество левых смежных классов H H в G что то же самое, количество правых смежных классов или , в G .Индекс обозначается $|G:H|$ или $[G:H]$ или $(G:H)$ .Поскольку G представляет собой непересекающееся объединение левых смежных классов и поскольку каждый левый смежный класс имеет тот же размер , что и H , индекс связан с порядками двух групп по формуле

|G|=|G:H||H|

(интерпретируйте величины как кардинальные числа, если некоторые из них бесконечны).Таким образом, индекс $|G:H|$ измеряет «относительные размеры G и H. »

Например, пусть $G=\mathbb {Z}$ — группа целых чисел при сложении , и пусть $H=2\mathbb {Z}$ — подгруппа, состоящая из четных целых чисел . Затем $2\mathbb {Z}$ имеет два смежных класса $\mathbb {Z}$ , а именно набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, поэтому индекс $|\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |$ равно 2. В более общем смысле, $|\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n$ для любого положительного целого числа n .

Когда G конечна , формулу можно записать как $|G:H|=|G|/|H|$ , и это подразумевает Теорема Лагранжа о том, что $|H|$ делит $|G|$ .

Когда G бесконечно, $|G:H|$ — ненулевое кардинальное число , которое может быть конечным или бесконечным.Например, $|\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2$ , но $|\mathbb {R} :\mathbb {Z} |$ бесконечен.

Если N — нормальная подгруппа группы G , то $|G:N|$ равен порядку факторгруппы $G/N$ , поскольку базовый набор $G/N$ является набором смежных классов N в G .

Свойства [ править ]

Если H — подгруппа группы G , а K — подгруппа группы H , то

|G:K|=|G:H|\,|H:K|.

Если H и K — подгруппы группы G , то

|G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,

с равенством, если

HK=G

. (Если

|G:H\cap K|

конечно, то равенство имеет место тогда и только тогда, когда

HK=G

.)

Эквивалентно, если H и K являются подгруппами G , то

|H:H\cap K|\leq |G:K|,

с равенством, если

HK=G

. (Если

|H:H\cap K|

конечно, то равенство имеет место тогда и только тогда, когда

HK=G

.)

Если G и H — группы и $\varphi \colon G\to H$ является гомоморфизмом индекс ядра , то $\varphi$ в G равен порядку изображения:

|G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.

Пусть G — группа, на множестве X , и пусть x ∈ X. действующая Тогда мощность орбиты x относительно G индексу стабилизатора x : равна

|Gx|=|G:G_{x}|.\!

Это известно как теорема о стабилизаторе орбиты .

Как частный случай теоремы о стабилизаторе орбиты, число сопряженных $gxg^{-1}$ элемента $x\in G$ индексу централизатора x G в . равен
Аналогично, количество конъюгатов $gHg^{-1}$ подгруппы H в G индексу нормализатора H G в . равен
Если H — подгруппа G , индекс нормального ядра H : удовлетворяет следующему неравенству

|G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!

где ! обозначает функцию факториала ; это обсуждается ниже .

Как следствие, если индекс H в G равен 2 или для конечной группы наименьшее простое число p , делящее порядок G, то H является нормальным, поскольку индекс его ядра также должен быть p, и, таким образом, H равно его ядро, т.е. оно нормальное.
Обратите внимание, что подгруппа с наименьшим простым индексом может не существовать, например, в любой простой группе непростого порядка или, в более общем смысле, в любой совершенной группе .

Примеры [ править ]

Альтернативная группа $A_{n}$ имеет индекс 2 в симметричной группе $S_{n},$ и так это нормально.
Специальная ортогональная группа $\operatorname {SO} (n)$ имеет индекс 2 в ортогональной группе $\operatorname {O} (n)$ , и это нормально.
Свободная абелева группа $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ имеет три подгруппы индекса 2, а именно

\{(x,y)\mid x{\text{ is even}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ is even}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ is even}}\}

.

В более общем смысле, если p простое , то $\mathbb {Z} ^{n}$ имеет $(p^{n}-1)/(p-1)$ подгруппы индекса p , соответствующие $(p^{n}-1)$ нетривиальные гомоморфизмы $\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ . ^{[ нужна ссылка ]}
Аналогично, свободная группа $F_{n}$ имеет $(p^{n}-1)/(p-1)$ подгруппы индекса p .
Бесконечная группа диэдра имеет циклическую подгруппу индекса 2, которая обязательно нормальна.

Бесконечный индекс [ править ]

Если H имеет бесконечное число смежных классов в G , то индекс H в G называется бесконечным. В этом случае индекс $|G:H|$ на самом деле это кардинальное число . Например, индекс H в G может быть счетным или несчетным , в зависимости от того, имеет ли счетное количество смежных классов в G. H Обратите внимание, что индекс H не превышает порядка G, который реализуется для тривиальной подгруппы, или фактически для любой подгруппы H бесконечной мощности, меньшей, чем у G.

Конечный индекс [ править ]

Подгруппа H конечного индекса в группе G (конечной или бесконечной) всегда содержит нормальную подгруппу N (из G ), также конечного индекса. Фактически, если H имеет индекс n , то индекс N будет некоторым делителем n ! и кратное n ; действительно, N можно считать ядром естественного гомоморфизма G в группу перестановок левых (или правых) смежных классов H .Поясним это подробнее, используя правые смежные классы:

Элементы G , оставляющие все смежные классы одинаковыми, образуют группу.

Доказательство
If Hca ⊂ Hc ∀ c ∈ G and likewise Hcb ⊂ Hc ∀ c ∈ G, then Hcab ⊂ Hc ∀ c ∈ G. If h₁ca = h₂c for all c ∈ G (with h₁, h₂ ∈ H) then h₂ca⁻¹ = h₁c, so Hca⁻¹ ⊂ Hc.

Назовем эту А. группу Пусть B будет набором элементов G , которые выполняют заданную перестановку в смежных классах H . Тогда B является правым смежным классом A .

Доказательство

индекс H. То, что мы сказали до сих пор, применимо независимо от того, конечен или бесконечен Теперь предположим, что это конечное число n . Поскольку число возможных перестановок смежных классов конечно, а именно n !, то может существовать только конечное число множеств типа B . (Если G бесконечна, то все такие множества, следовательно, бесконечны.) Множество этих множеств образует группу, изоморфную подмножеству группы перестановок, поэтому число этих множеств должно делить n !. Более того, оно должно быть кратно n, каждый класс класса H содержит одинаковое количество классов класса A. поскольку Наконец, если для некоторых c € G и a € A мы имеем ca = xc , то для любого d € G dca = dxc , но также и dca = hdc для некоторого h € H (по определению A ), поэтому hd = dx . Поскольку это верно для любого d , x должен быть членом A, поэтому ca = xc подразумевает, что cac ⁻¹ ∈ A и, следовательно, A — нормальная подгруппа.

Индекс нормальной подгруппы не только должен быть делителем n !, но и удовлетворять другим критериям. Поскольку нормальная подгруппа является подгруппой H , ее индекс в G должен быть n раз больше ее индекса внутри H. в Его индекс в G также должен соответствовать подгруппе симметрической группы Sn _, группы перестановок n объектов. Так, например, если n нет подгруппы порядка 15 _{равно 5, индекс не может быть равен 15, даже если это делит 5!, потому что в S 5} .

В случае n = 2 это дает довольно очевидный результат: подгруппа H индекса 2 является нормальной подгруппой, поскольку нормальная подгруппа группы H должна иметь индекс 2 в G и, следовательно, быть идентична H . (Мы можем прийти к этому факту, заметив, что все элементы G , которые не входят в H, составляют правый смежный класс H , а также левый смежный класс, поэтому они идентичны.) В более общем смысле, подгруппа индекса p , где p является наименьшим простым множителем порядка G (если G конечен) обязательно нормален, поскольку индекс N делит p ! и, следовательно, должно равняться p, не имея других простых делителей. Например, подгруппа Z ₇ неабелевой группы порядка 21 является нормальной (см. Список малых неабелевых групп и группа Фробениуса#Примеры ).

Альтернативное доказательство того, что подгруппа с наименьшим простым индексом p является нормальной, а также другие свойства подгрупп с простым индексом приведены в ( Lam 2004 ).

Примеры [ править ]

Группа O кирально -октаэдрической симметрии состоит из 24 элементов. Она имеет подгруппу диэдра D ₄ (на самом деле их три) порядка 8 и, следовательно, индекса 3 в O , которую мы назовем H . из 4 членов _{Эта группа диэдра имеет подгруппу D 2} , которую мы можем назвать A . Умножение справа любого элемента правого смежного класса H на элемент A дает член того же смежного класса H ( Hca = Hc ). A нормальным в O. является Есть шесть смежных классов , соответствующих шести элементам симметрической группы S3 _. A Все элементы из любого конкретного смежного класса A выполняют одну и ту же перестановку смежных классов H .

С другой стороны, группа Th _{пиритоэдрической} симметрии также имеет 24 члена и подгруппу индекса 3 (на этот раз это _{D 2h} группа призматической симметрии , см. точечные группы в трех измерениях ), но в этом случае вся подгруппа есть нормальная подгруппа. Все члены конкретного смежного класса осуществляют одну и ту же перестановку этих смежных классов, но в этом случае они представляют собой только 3-элементную альтернирующую группу в 6-членной симметричной группе S ₃ .

индекса основной Нормальные мощности подгруппы

Нормальные подгруппы с индексом простой степени являются ядрами сюръективных отображений в p -группы и имеют интересную структуру, как описано в теореме о фокальной подгруппе: Подгруппы и подробно описано в теореме о фокальной подгруппе .

Существует три важные нормальные подгруппы индекса степени простого числа, каждая из которых является наименьшей нормальной подгруппой в определенном классе:

И ^п( G ) — пересечение всех индекса p нормальных подгрупп ; Г / Э ^п( G ) — элементарная абелева группа и самая большая элементарная абелева p -группа, на которую G сюръектируется.
А ^п( G ) — пересечение всех нормальных подгрупп K таких, что G / K — абелева p -группа (т. е. K — индекс $p^{k}$ нормальная подгруппа, содержащая производную группу $[G,G]$ ): Г / А ^п( G ) — наибольшая абелева p -группа (не обязательно элементарная), на которую G сюръектируется.
ТО ^п( G ) является пересечением всех нормальных подгрупп K группы G таких, что G / K является (возможно, неабелевой) p -группой (т. е. K является индексом $p^{k}$ нормальная подгруппа): Г / О ^п( G ) — наибольшая p -группа (не обязательно абелева), на которую G сюръектирует. О ^п( G ) также известна как p -остаточная подгруппа .

Поскольку это более слабые условия на группы K, получаем включения

\mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).

Эти группы имеют важные связи с силовскими подгруппами и трансфер-гомоморфизмом, как обсуждалось там.

Геометрическая структура [ править ]

Элементарное наблюдение состоит в том, что нельзя иметь ровно две подгруппы индекса 2, поскольку дополнение к их симметричной разности дает третью. Это простое следствие вышеизложенного (а именно, проективизация структуры векторного пространства элементарной абелевой группы

G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}

,

и, кроме того, G не действует на эту геометрию и не отражает какую-либо неабелеву структуру (в обоих случаях, поскольку фактор абелев).

Однако это элементарный результат, который конкретно можно увидеть следующим образом: множество нормальных подгрупп данного индекса p образуют проективное пространство , а именно проективное пространство

\mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)).

Подробно, пространство гомоморфизмов из G в (циклическую) группу порядка p, $\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),$ является векторным пространством над конечным полем $\mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.$ Нетривиальное такое отображение имеет в качестве ядра нормальную подгруппу индекса p, и умножение отображения на элемент $(\mathbf {Z} /p)^{\times }$ (ненулевое число по модулю p ) не меняет ядро; таким образом, получается карта из

\mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }

к нормальным подгруппам индекса p . И наоборот, нормальная подгруппа индекса p определяет нетривиальное отображение в $\mathbf {Z} /p$ вплоть до выбора того, «какой класс сопоставляется с $1\in \mathbf {Z} /p,$ что показывает, что это отображение является биекцией.

Как следствие, число нормальных подгрупп индекса p равно

(p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}

для некоторого k; $k=-1$ не соответствует ни одной нормальной подгруппе индекса p . Далее, по двум различным нормальным подгруппам индекса p получается проективная прямая, состоящая из $p+1$ такие подгруппы.

Для $p=2,$ симметричная разность двух различных подгрупп индекса 2 (которые обязательно нормальны) дает третью точку на проективной прямой, содержащей эти подгруппы, и группа должна содержать $0,1,3,7,15,\ldots$ подгруппы индекса 2 – например, он не может содержать ровно 2 или 4 подгруппы индекса 2.