Теорема о фокальной подгруппе

В абстрактной алгебре теорема о фокальной подгруппе описывает слияние элементов в силовской подгруппе группы конечной . Теорема о фокальной подгруппе была введена в ( Хигман 1953 ) и является «первым крупным применением переноса» согласно ( Горенштейн, Лайонс и Соломон 1996 , стр. 90). Теорема о фокальной подгруппе связывает идеи переноса и слияния, описанные Отто Грюном в ( Grun 1936 ). Различные применения этих идей включают локальные критерии p -нильпотентности и различные критерии непростоты направленные на то, чтобы показать, что конечная группа имеет нормальную подгруппу индекса , p .

Фон

Теорема о фокальной подгруппе связывает несколько направлений исследования в теории конечных групп: нормальные подгруппы индекса степени p , гомоморфизм переноса и слияние элементов.

Подгруппы

Следующие три нормальные подгруппы индекса степень p определяются естественным образом и возникают как наименьшие нормальные подгруппы, фактор которых является (определенным видом) p -группой. Формально они являются ядрами отражения на рефлективную подкатегорию р - групп (соответственно элементарных абелевых р -групп, абелевых р -групп).

• И ^п ( G ) — пересечение всех индекса p нормальных подгрупп ; Г / Э ^п ( G ) — элементарная абелева группа и наибольшая элементарная абелева p -группа, на которую G сюръектируется.
• А ^п ( G ) (обозначение из ( Isaacs 2008 , 5D, стр. 164)) — это пересечение всех нормальных подгрупп K таких, что G / K — абелева p -группа (т. е. K — индекс $p^{k}$ нормальная подгруппа, содержащая производную группу $[G,G]$): Г / А ^п ( G ) — наибольшая абелева p -группа (не обязательно элементарная), на которую G сюръецируется.
• ТО ^п ( G ) является пересечением всех нормальных подгрупп K группы G таких, что G / K является (возможно, неабелевой) p -группой (т. е. K является индексом $p^{k}$ нормальная подгруппа): Г / О ^п ( G ) — наибольшая p -группа (не обязательно абелева), на которую G сюръектирует. О ^п ( G ) также известна как p -невязкая подгруппа .

Во-первых, поскольку это более слабые условия на группы K, получаем включения $\mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).$ Они далее связаны как:

А ^п ( г ) знак равно О ^п ( G )[ G , G ].

ТО ^п ( G ) имеет следующую альтернативную характеристику как подгруппа, порожденная всеми силовскими q -подгруппами группы G , когда q ≠ p пробегает простые делители порядка G отличного , от p .

ТО ^п ( G ) используется для определения нижней p -серии G , аналогично верхней p -серии, описанной в p-core .

Трансферный гомоморфизм

Основная статья: Трансфер (теория групп)

Трансферный гомоморфизм — это гомоморфизм, который может быть определен из любой группы G в абелеву группу H /[ H , H ], определенную подгруппой H ⩽ G , конечного индекса то есть [ G : H ] < ∞. Трансферное отображение конечной группы G в ее силовскую p -подгруппу имеет ядро , которое легко описать:

Ядро трансферного гомоморфизма конечной группы G в ее силовскую p -подгруппу P имеет A ^п ( G ) в качестве его ядра ( Isaacs 2008 , теорема 5.20, стр. 165).

Другими словами, «очевидный» гомоморфизм на абелеву p -группу на самом деле является наиболее общим таким гомоморфизмом.

Слияние

Модель слияния подгруппы H в G — это отношение эквивалентности элементов H , где два элемента h , k из H сливаются , если они G -сопряжены, то есть если существует некоторый g в G такой, что h = k ^г . Нормальная структура G влияет на структуру слияния ее силовских p -подгрупп, и, наоборот, структура слияния ее силовских p -подгрупп оказывает влияние на нормальную структуру G ( Горенштейн, Лайонс и Соломон 1996 , стр. 89).

Координационная подгруппа

Можно определить, как в ( Isaacs 2008 , стр. 165), подгруппу H фокальную относительно G как:

Фок _г ( ЧАС ) знак равно ⟨ Икс ⁻¹ й | x , y в H и x -сопряжен G с y ⟩.

Эта фокусная подгруппа измеряет степень, в которой элементы H сливаются в G предыдущее определение измеряло некоторые гомоморфные образы абелевой p -группы группы G. , в то время как Содержание теоремы о фокальной подгруппе состоит в том, что эти два определения фокальной подгруппы совместимы.

( Горенштейн 1980 , стр. 246) показывает, что фокальная подгруппа P в G является пересечением P ∩[ G , G ] силовской p -подгруппы P конечной группы G с производной подгруппой [ G , G ] группы G. . Фокальная подгруппа важна, поскольку она является силовской p -подгруппой производной подгруппы. Также получается следующий результат:

Существует нормальная подгруппа K группы G, причем G / K — абелева , p -группа изоморфная P / P ∩[ G , G ] (здесь K обозначает A ^п ( G )), и

если K — нормальная подгруппа группы G , причем G / K — абелева p-группа, то P ∩[ G , G ] ⩽ K , а G / K — гомоморфный образ P / P ∩[ G , G ], ( Горенштейн 1980 г. , Теорема 7.3.1, стр. 90).

Формулировка теоремы

Фокальная подгруппа конечной группы G с силовской p -подгруппой P определяется формулой:

P ∩[ G , G ] = P ∩ A ^п ( г ) знак равно п ∩ker( v ) знак равно Фок _г ( п ) знак равно ⟨ Икс ⁻¹ й | x , y в P и x -сопряжен G с y ⟩

где v — гомоморфизм переноса из G в P /[ P , P ], ( Isaacs 2008 , теорема 5.21, стр. 165).

История и обобщения

Эту связь между переносом и слиянием приписывают ( Higman 1953 ), где на разных языках была доказана теорема о фокальной подгруппе вместе с различными обобщениями. Требование, чтобы G / K было абелевым, было отменено, поэтому Хигман изучал также O ^п ( G ) и нильпотентная невязка γ∞ _. ( G как так называемые гиперфокальные подгруппы ) , Хигман также не ограничивался одним простым числом p , а скорее допускал π -группы для наборов простых чисел π и использовал Филипа Холла теорему о холловских подгруппах , чтобы доказать аналогичные результаты о переходе в холловские π -подгруппы; если π = { p }, то холловская π -подгруппа является силовской p -подгруппой, и результаты Хигмана такие же, как изложены выше.

Интерес к гиперфокальным подгруппам был возобновлен благодаря работе ( Puig 2000 ) по пониманию теории модульного представления некоторых блоков с хорошим поведением. Гиперфокальная подгруппа P в G может быть определена как P ∩γ _∞ ( G ), то есть как силовская p -подгруппа нильпотентного остатка G. группы Если P — силовская p -подгруппа конечной группы G , то получается стандартная теорема о фокальной подгруппе:

п ∩γ _∞ ( г ) знак равно п ∩ О ^п ( г ) знак равно ⟨ Икс ⁻¹ y : x , y в P и y = x ^г для некоторого g из G порядка, взаимно простого с p ⟩

и местная характеристика:

P ∩ O ^п ( г ) знак равно ⟨ Икс ⁻¹ y : x , y в Q ≤ P и y = x ^г для некоторого g из N _G ( Q ) порядка, взаимно простого с p ⟩.

Это можно сравнить с местной характеристикой фокальной подгруппы как:

P ∩ A ^п ( г ) знак равно ⟨ Икс ⁻¹ y : x , y в Q ≤ P и y = x ^г для некоторого g из N _G ( Q ) ⟩.

Пуиг заинтересован в обобщении этой ситуации на системы слияния , категориальную модель слияния силовской p -подгруппы по отношению к конечной группе, которая также моделирует слияние дефектной группы p -блока в модульном представлении. теория. Фактически, термоядерные системы нашли ряд удивительных применений и идей в области алгебраической топологии, известной как эквивариантная теория гомотопий . Некоторые из основных алгебраических теорем в этой области на данный момент имеют только топологические доказательства.

Другие характеристики

Различные математики представили методы расчета фокусной подгруппы из меньших групп. Например, влиятельная работа ( Альперин 1967 ) развивает идею локального контроля термоядерного синтеза и в качестве примера показывает, что:

П ∩ А ^п ( G ) порождается подгруппами-коммутантами [ Q , N _G ( Q )], где Q меняется в семействе C подгрупп P

Выбор семейства C может быть сделан разными способами ( C - это то, что называется «семейством слабого сопряжения» в ( Alperin 1967 )), и приводится несколько примеров: можно взять C как все неединичные подгруппы группы P. , или меньший выбор только пересечений Q = P ∩ P ^г для g в G, в котором N _P ( Q ) и N _{P ^г} ( Q ) являются силовскими p -подгруппами группы NG ₍ Q ) . Последний выбор сделан в ( Горенштейн 1980 , теорема 7.4.1, стр. 251). В работе ( Грюн, 1936 ) также изучались аспекты переноса и слияния, в результате чего была сформулирована первая теорема Грюна :

П ∩ А ^п ( G ) порождается P ∩ [ N , N ] и P ∩ [ Q , Q ] где N = _NG ( P ) и Q пробегает множество силовских p -подгрупп Q = P ^г G Горенштейн ( 1980 , теорема 7.4.2, стр. 252).

Приложения

Презентации учебников ( Rose 1978 , стр. 254–264), ( Isaacs 2008 , Chapter 5), ( Hall 1959 , Chapter 14), ( Suzuki 1986 , §5.2, стр. 138–165) содержат различные применения теорема о фокальной подгруппе, касающаяся слияния, переноса и определенного вида расщепления , называемого p -нильпотентностью .

В ходе рассмотрения теоремы Альперина–Брауэра–Горенштейна, классифицирующей конечные простые группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами, возникает необходимость различать четыре типа групп с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами: 2-нильпотентные группы, Q группы -типа, фокальная подгруппа которых представляет собой обобщенную группу кватернионов индекса 2, группы D -типа, фокальная подгруппа которых представляет собой диэдральную группу индекса 2, и группы QD -типа, фокальная подгруппа которых представляет собой всю квазидиэдральную группу. С точки зрения слияния 2-нильпотентные группы имеют 2 класса инволюций и 2 класса циклических подгрупп порядка 4; Q -тип имеет 2 класса инволюций и один класс циклических подгрупп порядка 4; QD . -тип имеет по одному классу инволюций и циклических подгрупп порядка 4. Другими словами, конечные группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами могут быть классифицированы в соответствии с их фокальной подгруппой или, что то же самое, в соответствии с их моделями слияния Явные списки групп с каждым шаблоном слияния содержатся в ( Альперин, Брауэр и Горенштейн 1970 ).

Ссылки

• Альперин, Дж. Л. (1967), «Силовские пересечения и слияние», Журнал алгебры , 6 (2): 222–241, doi : 10.1016/0021-8693 (67) 90005-1 , ISSN   0021-8693 , MR   0215913
• Альперин, JL ; Брауэр, Р .; Горенштейн, Д. (1970), «Конечные группы с квазидиэдрическими и свитыми силовскими 2-подгруппами», Труды Американского математического общества , 151 (1), Американское математическое общество : 1–261, doi : 10.2307/1995627 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1995627 , MR   0284499
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-0301-6 , МР   0569209
• Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (1996), Классификация конечных простых групп. Номер 2. Часть I. Глава G , Математические обзоры и монографии, вып. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0390-5 , МР   1358135
• Грюн, Отто (1936), «Вклад в теорию групп. I». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 174 : 1–14, ISSN   0075-4102 , Zbl   0012.34102.
• Холл, Маршалл младший (1959), Теория групп , Нью-Йорк: Macmillan, MR   0103215.
• Хигман, Дональд Г. (1953), «Фокальные ряды в конечных группах», Canadian Journal of Mathematics , 5 : 477–497, doi : 10.4153/cjm-1953-055-5 , ISSN   0008-414X , MR   0058597
• Айзекс, И. Мартин (2008), Теория конечных групп , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-4344-4
• Пуч, Луис (2000), «Гиперфокальная подалгебра блока», Inventiones Mathematicae , 141 (2): 365–397, doi : 10.1007/s002220000072 , ISSN   0020-9910 , MR   1775217 , S2CID   122330778
• Роуз, Джон С. (1978), Курс теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications (опубликовано в 1994 г.), ISBN  978-0-486-68194-8 , МР   0498810
• Судзуки, Мичио (1986), Теория групп. II , Фундаментальные принципы математических наук, т. 1, с. 248, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-10916-9 , МР   0815926