Нормальное р-дополнение

В математической теории групп нормальное p-дополнение конечной группы для простого числа p — это нормальная подгруппа порядка, взаимно простого с p , и индексом, равным степени p . Другими словами, группа является полупрямым произведением нормального p -дополнения и любой силовской p -подгруппы . Группа называется p-нильпотентной, если она имеет нормальное p -дополнение.

Теорема Кэли о нормальных двух дополнениях

Кэли показал, что если силовская 2-подгруппа группы G циклическая , то группа имеет нормальное 2-дополнение, что показывает, что силовская 2-подгруппа простой группы четного порядка не может быть циклической.

Теорема Бернсайда о нормальном p-дополнении

Бернсайд ( 1911 , теорема II, раздел 243) показал, что если силовская p -подгруппа группы G находится в центре своего нормализатора, то G имеет нормальное p -дополнение. Отсюда следует, что если p — наименьшее простое число, делящее порядок группы G , и силовская p -подгруппа циклическая, то G имеет нормальное p -дополнение.

Теорема Фробениуса о нормальном p-дополнении

Теорема Фробениуса о нормальном p -дополнении является усилением теоремы Бернсайда о нормальном p -дополнении, которая утверждает, что если нормализатор каждой нетривиальной подгруппы силовской p -подгруппы группы G имеет нормальное p -дополнение, то то же самое имеет и G. . Точнее, следующие условия эквивалентны:

• G имеет нормальное p -дополнение
• Нормализатор каждой нетривиальной p -подгруппы имеет нормальное p -дополнение.
• Для каждой p -подгруппы Q группа NG ₍ Q ) /CG ₍ Q ) является p -группой.

Теорема Томпсона о нормальном p-дополнении

Теорема Фробениуса о нормальном p -дополнении показывает, что если каждый нормализатор нетривиальной подгруппы силовской p -подгруппы имеет нормальное p -дополнение, то то же самое имеет и G . Для приложений часто бывает полезно иметь более сильную версию, в которой вместо использования всех нетривиальных подгрупп силовской p -подгруппы используются только нетривиальные характеристические подгруппы. Для нечетных простых чисел p Томпсон нашел такой усиленный критерий: на самом деле ему нужны были не все характеристические подгруппы, а только две специальные.

Томпсон (1964) показал, что если p — нечетное простое число и группы N(J( P )) и C(Z( P )) имеют нормальные p -дополнения для силовской P-подгруппы группы G , то G имеет нормальное п - дополнение.

В частности, если нормализатор каждой нетривиальной характеристической подгруппы P имеет нормальное p -дополнение, то и G . Этого следствия достаточно для многих приложений.

Результат неверен для p = 2, поскольку простая группа PSL ₂ ( F ₇ ) порядка 168 является контрпримером.

Томпсон (1960) дал более слабую версию этой теоремы.

Теорема Глаубермана о нормальном p-дополнении

Теорема Томпсона о нормальном p -дополнении использовала условия на две конкретные характеристические подгруппы силовской p -подгруппы. Глауберман еще больше улучшил это, показав, что нужно использовать только одну характеристическую подгруппу: центр подгруппы Томпсона.

Глауберман (1968) использовал свою теорему ZJ для доказательства теоремы о нормальном p -дополнении, согласно которой, если p — нечетное простое число и нормализатор Z(J(P)) имеет нормальное p -дополнение, то P — силовская p -подгруппа группы G тоже , то и G . Здесь Z обозначает центр группы, а J — подгруппу Томпсона .

Результат неверен для p = 2, поскольку простая группа PSL ₂ ( F ₇ ) порядка 168 является контрпримером.

Ссылки

• Бернсайд, Уильям (1911) [1897], Теория групп конечного порядка (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-1-108-05032-6 , MR   0069818 Перепечатано Дувром, 1955 г.
• Глауберман, Джордж (1968), «Характеристическая подгруппа p-стабильной группы» , Canadian Journal of Mathematics , 20 : 1101–1135, doi : 10.4153/cjm-1968-107-2 , ISSN   0008-414X , MR   0230807
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0301-6 , МР   0569209
• Томпсон, Джон Г. (1960), «Нормальные p-дополнения для конечных групп», Mathematical Journal , 72 : 332–354, doi : 10.1007/BF01162958 , ISSN   0025-5874 , MR   0117289 , S2CID   120848984
• Томпсон, Джон Г. (1964), «Нормальные p-дополнения для конечных групп», Journal of Algebra , 1 : 43–46, doi : 10.1016/0021-8693(64)90006-7 , ISSN   0021-8693 , MR   0167521