ПСЛ(2,7)

В математике проективная специальная линейная группа PSL(2, 7) , изоморфная GL(3, 2) , является конечной простой группой , которая имеет важные приложения в алгебре , геометрии и теории чисел . Это группа автоморфизмов квартики Клейна , а также группа симметрии плоскости Фано . Имея 168 элементов, PSL(2, 7) является наименьшей неабелевой простой группой после знакопеременной группы A ₅ с 60 элементами, изоморфной PSL(2, 5) .

Определение

Общая линейная группа GL(2, 7) состоит из всех обратимых матриц размера 2×2 над F ₇ , конечным полем из 7 элементов. Они имеют ненулевой определитель. Подгруппа состоит из SL(2, 7) всех таких матриц с единичным определителем . Тогда PSL(2, 7) определяется как факторгруппа

SL(2, 7) / { I , − I }

получается путем идентификации I и −I , где I — единичная матрица . В этой статье мы обозначим через G любую группу, изоморфную PSL(2, 7) .

Свойства

G = PSL(2, 7) имеет 168 элементов. Это можно увидеть, посчитав возможные столбцы; есть 7 ² − 1 = 48 возможностей для первого столбца, затем 7 ² − 7 = 42 возможности для второго столбца. Мы должны разделить на 7 - 1 = 6 , чтобы определитель стал равен единице, а затем мы должны разделить на 2, когда мы отождествляем I и - I . Результат: (48 × 42)/(6 × 2) = 168 .

Это общий результат, что PSL( n , q ) является простым для n , q ≥ 2 ( q — некоторая степень простого числа), если только ( n , q ) = (2, 2) или (2, 3) . PSL(2, 2) изоморфна знакопеременной симметрической группе S ₃ , а PSL(2, 3) изоморфна группе A ₄ . Фактически, PSL(2, 7) является второй наименьшей неабелевой простой группой после знакопеременной группы A ₅ = PSL(2, 5) = PSL(2, 4) .

Число классов сопряженности и неприводимых представлений — 6. Размеры классов сопряженности — 1, 21, 42, 56, 24, 24. Размерности неприводимых представлений — 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Таблица символов

${\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},$

где

$\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.$

В следующей таблице классы сопряженности описаны с точки зрения порядка элемента в классе, размера класса, минимального полинома каждого представителя в GL(3, 2) и обозначения функции для представителя в PSL(2). , 7). Обратите внимание, что классы 7A и 7B меняются местами автоморфизмом, поэтому представителей из GL(3, 2) и PSL(2, 7) можно переключать произвольно.

Заказ	Размер	Мин Поли	Функция
1	1	х + 1	х
2	21	х 2 + 1	−1/ х
3	56	х 3 + 1	22x
4	42	х 3 + х 2 + х + 1	1/(3 - х )
7	24	х 3 + х + 1	х + 1
7	24	х 3 + х 2 + 1	х + 3

Порядок группы равен 168 = 3 × 7 × 8 , из этого следует существование силовских подгрупп порядков 3, 7 и 8. Первые две легко описать, они циклические, поскольку любая группа простого порядка является циклической . Любой элемент класса сопряженности 3 A ₅₆ порождает силовскую 3-подгруппу. Любой элемент из классов сопряженности 7 A ₂₄ , 7 B ₂₄ порождает силовскую 7-подгруппу. Силовская 2-подгруппа является группой диэдра порядка 8 . Его можно описать как централизатор любого элемента из класса сопряженности 2 A ₂₁ . В представлении GL(3, 2) силовская 2-подгруппа состоит из верхнетреугольных матриц.

Эта группа и ее силовская 2-подгруппа представляют собой контрпример для различных теорем о нормальных p-дополнениях для p = 2 .

Действия на проективных пространствах

G = PSL(2, 7) действует посредством дробно-линейного преобразования на проективной прямой P ¹ (7) над полем из 7 элементов:

${\text{For }}\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{PSL}}(2,7){\text{ and }}x\in \mathbf {P} ^{1}\!(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}.$

Каждый сохраняющий ориентацию автоморфизм P ¹ (7) возникает таким образом, и поэтому G = PSL(2, 7) можно рассматривать геометрически как группу симметрий проективной прямой P ¹ (7); вместо этого полная группа проективных линейных автоморфизмов, возможно меняющих ориентацию, представляет собой расширение PGL(2, 7) порядка 2 , а группа коллинеаций проективной прямой представляет собой полную симметрическую группу точек.

Однако PSL(2, 7) также изоморфна PSL (3, 2) ( = SL(3, 2) = GL(3, 2) ), специальной (общей) линейной группе матриц 3×3 над полем с 2 элементами. Аналогично G = PSL(3, 2) действует на проективной плоскости P ² (2) над полем с двумя элементами, также известным как плоскость Фано :

Для $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\text{PSL}}(3,2)\ \$ и $\ \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}\!(2),\ \ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Опять же, каждый автоморфизм P ² (2) возникает таким образом, и поэтому G = PSL(3, 2) можно рассматривать геометрически как симметрии группу эта проективная плоскость. Плоскость Фано можно использовать для описания умножения октонионов , поэтому G действует на набор таблиц умножения октонионов.

квартики

Дополнительная информация: квартика Клейна.

Квартика Клейна может быть реализована как частное семиугольной мозаики третьего порядка или треугольной мозаики седьмого порядка .

Квартика Клейна — это проективное многообразие над комплексными числами C, определяемое полиномом четвертой степени

х ³ й + й ³ г + г ³ х = 0.

Это компактная риманова поверхность рода g = 3 и единственная такая поверхность, для которой размер группы конформных автоморфизмов достигает максимума 84( g − 1) . Эта оценка обусловлена ​​теоремой Гурвица об автоморфизмах , которая справедлива для всех g > 1 . Такие « поверхности Гурвица » редки; следующий род, для которого они существуют, — это g = 7 , а следующий за ним — g = 14 .

Как и всем поверхностям Гурвица , квартике Клейна можно присвоить метрику постоянной отрицательной кривизны , а затем замостить ее правильными (гиперболическими) семиугольниками , как частное от семиугольной мозаики порядка 3 , с симметрией поверхности как римановой поверхности или алгебраическая кривая точно такая же, как симметрии разбиения. Для квартики Клейна это дает мозаику из 24 семиугольников, и порядок G , таким образом, связан с тем фактом, что 24 × 7 = 168 . Двойственно его можно замостить 56 равносторонними треугольниками с 24 вершинами, каждая степени 7, как частное от треугольной мозаики 7-го порядка .

Квартика Клейна возникает во многих областях математики, включая теорию представлений, теорию гомологии, умножение октонионов, Великую теорему Ферма и теорему Штарка о полях мнимых квадратичных чисел класса номер 1.

Матье

PSL(2, 7) — максимальная подгруппа группы Матье M ₂₁ ; группы M ₂₁ и M ₂₄ могут быть построены как расширения PSL(2, 7) . Эти расширения можно интерпретировать в терминах мозаики квартики Клейна, но они не реализуются с помощью геометрической симметрии мозаики.

Действия по перестановке

Группа PSL(2, 7) действует на различных конечных множествах:

• В своей первоначальной интерпретации как PSL(2, 7) сохраняющие ориентацию линейные автоморфизмы проективной прямой P ¹ ( F ₇ ) он действует транзитивно на 8 точках со стабилизатором 21-го порядка, фиксирующим данную точку. Он также действует 2-транзитивно со стабилизатором порядка 3 на каждой паре точек; и он имеет две орбиты на тройках точек с тривиальным стабилизатором на каждой тройке. (Большая группа PGL(2, 7) действует резко 3-транзитивно.)
• Интерпретируемые как PGL(3, 2) , линейные автоморфизмы плоскости Фано P ² ( F ₂ ), он действует 2-транзитивно на 7 точках, причем стабилизатор порядка 24 фиксирует каждую точку, а стабилизатор порядка 4 фиксирует каждую пару точек.
• Интерпретируемый как автоморфизм мозаики квартики Клейна, он действует транзитивно на 24 вершины (или двойственно на 24 семиугольника) со стабилизатором порядка 7 (соответствующим вращению вокруг вершины/семиугольника).
• Интерпретируемая как подгруппа группы Матье M ₂₁ , подгруппа действует нетранзитивно в 21 точке.

Ссылки

• Рихтер, Дэвид А., Как сделать группу Матье M ₂₄ , получено 15 апреля 2010 г.

Дальнейшее чтение

• Браун, Эзра; Лоер, Николас (2009). «Почему PSL (2,7)≅ GL (3,2)?» (PDF) . Являюсь. Математика. Пн . 116 (8): 727–732. дои : 10.4169/193009709X460859 . Збл   1229.20046 . Архивировано из оригинала (PDF) 9 октября 2016 г. Проверено 27 сентября 2014 г.

Внешние ссылки

• Восьмеричный путь: красота кривой четвертого порядка Кляйна (Сильвио Леви, ред.)
• Находки этой недели по математической физике — неделя 214 (Джон Баэз)
• Квартика Клейна в теории чисел (Ноам Элкис)
• Проективная специальная линейная группа: PSL(3, 2)