Теорема Гурвица об автоморфизмах

В математике ограничивает теорема Гурвица об автоморфизмах порядок группы автоморфизмов посредством сохраняющих ориентацию конформных отображений компактной римановой поверхности рода g g > 1, утверждая, что число таких автоморфизмов не может превышать 84 ( - 1). Группа, для которой достигается максимум, называется группой Гурвица , а соответствующая риманова поверхность — поверхностью Гурвица . Поскольку компактные римановы поверхности являются синонимами неособых комплексных проективных алгебраических кривых , поверхность Гурвица также можно назвать кривой Гурвица . ^[1] Теорема названа в честь Адольфа Гурвица , доказавшего ее в ( Hurwitz 1893 ).

Оценка Гурвица также справедлива для алгебраических кривых над полем характеристики 0 и над полями положительной характеристики p > 0 для групп, порядок которых взаимно прост с p , но может не работать над полями положительной характеристики p > 0, когда p делит порядок группы. Например, двойное накрытие проективной прямой y ² = х ^п − x, разветвленный во всех точках, определенных над простым полем, имеет род g =( p −1)/2, но на него действует группа PGL ₂ ( p ) порядка p ³- п .

Интерпретация с точки зрения гиперболичности

Одной из фундаментальных тем дифференциальной геометрии является трихотомия римановых многообразий положительной, нулевой и кривизны K. отрицательной Оно проявляется во многих разнообразных ситуациях и на нескольких уровнях. В контексте компактных римановых поверхностей X , согласно теореме об униформизации Римана , это можно рассматривать как различие между поверхностями разных топологий:

X — , сфера компактная риманова поверхность нулевого рода с К > 0;
X — плоский тор , или эллиптическая кривая , — риманова поверхность рода один с К = 0;
и X - гиперболическая поверхность , имеющая род больше единицы и K < 0.

В то время как в первых двух случаях поверхность X допускает бесконечное число конформных автоморфизмов (фактически группа конформных автоморфизмов представляет собой комплексную группу Ли размерности три для сферы и размерности один для тора), гиперболическая риманова поверхность допускает только дискретный множество автоморфизмов. Теорема Гурвица утверждает, что на самом деле верно нечто большее: она обеспечивает равномерную оценку порядка группы автоморфизмов как функции рода и характеризует те римановы поверхности, для которых эта оценка точна .

Заявление и доказательство

Теорема : Пусть $X$ — гладкая связная риманова поверхность рода $g\geq 2$ . Тогда его группа автоморфизмов $\operatorname {Aut} (X)$ имеет максимальный размер $84(g-1)$ .

Доказательство: предположим пока, что $G=\operatorname {Aut} (X)$ конечно (это будет доказано в конце).

Рассмотрим факторкарту $X\to X/G$ . С $G$ действует голоморфными функциями, фактор локально имеет вид $z\to z^{n}$ и частное $X/G$ является гладкой римановой поверхностью. Карта коэффициентов $X\to X/G$ является разветвленным накрытием, и ниже мы увидим, что точки ветвления соответствуют орбитам, имеющим нетривиальный стабилизатор. Позволять $g_{0}$ быть родом $X/G$ .
По Римана-Гурвица формуле $2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)$ где сумма превышает $k$ точки разветвления $p_{i}\in X/G$ для факторной карты $X\to X/G$ . Индекс ветвления $e_{i}$ в $p_{i}$ есть порядок группы стабилизатора, так как $e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)$ где $f_{i}$ количество прообразов $p_{i}$ (количество точек на орбите), и $\deg(X/\,X/G)=|G|$ . По определению точек ветвления $e_{i}\geq 2$ для всех $k$ индексы ветвления.

Теперь вызовите правую сторону $|G|R$ и поскольку $g\geq 2$ мы должны иметь $R>0$ . Переставляя уравнение, находим:

Если $g_{0}\geq 2$ затем $R\geq 2$ , и $|G|\leq (g-1)$
Если $g_{0}=1$ , затем $k\geq 1$ и $R\geq 0+1-1/2=1/2$ так что $|G|\leq 4(g-1)$ ,
Если $g_{0}=0$ $g_{0}=0$ , затем $k\geq 3$ $k\geq 3$ и
- если $k\geq 5$ затем $R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2$ , так что $|G|\leq 4(g-1)$
- если $k=4$ затем $R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6$ , так что $|G|\leq 12(g-1)$ ,
- если $k=3$ $k=3$ тогда напиши $e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r$ $e_{1}=p,\,e_{2} = q,\,e_{3}=r$ . Мы можем предположить $2\leq p\leq q\ \leq r$ $2\leq p\leq q\ \leq r$ .
  - если $p\geq 3$ затем $R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12$ так что $|G|\leq 24(g-1)$ ,
  - если $p=2$ $p=2$ затем
    - если $q\geq 4$ затем $R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20$ так что $|G|\leq 40(g-1)$ ,
    - если $q=3$ затем $R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42$ так что $|G|\leq 84(g-1)$ .

В заключение, $|G|\leq 84(g-1)$ .

Чтобы показать это $G$ конечно, заметим, что $G$ действует на когомологии $H^{*}(X,\mathbf {C} )$ сохраняя разложение Ходжа и решетку $H^{1}(X,\mathbf {Z} )$ .

В частности, его действие на $V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )$ дает гомоморфизм $h:G\to \operatorname {GL} (V)$ с дискретным изображением $h(G)$ .
Кроме того, изображение $h(G)$ сохраняет естественный невырожденный эрмитов внутренний продукт ${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$ на $V$ . В частности изображение $h(G)$ содержится в унитарной группе $\operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)$ который компактен . Таким образом, изображение $h(G)$ не просто дискретно, но и конечно.
Осталось доказать, что $h:G\to \operatorname {GL} (V)$ имеет конечное ядро. На самом деле мы докажем $h$ является инъективным. Предполагать $\varphi \in G$ действует как личность на $V$ . Если $\operatorname {fix} (\varphi )$ конечно, то по о неподвижной точке теореме Лефшеца $|\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.$

Это противоречие, и поэтому $\operatorname {fix} (\varphi )$ бесконечен. С $\operatorname {fix} (\varphi )$ является замкнутым комплексным подмногообразием положительной размерности и $X$ является гладкой связной кривой (т.е. $\dim _{\mathbf {C} }(X)=1$ ), мы должны иметь $\operatorname {fix} (\varphi )=X$ . Таким образом $\varphi$ тождество, и мы заключаем, что $h$ является инъективным и $G\cong h(G)$ конечно.КЭД

Следствие доказательства : Риманова поверхность. $X$ рода $g\geq 2$ имеет $84(g-1)$ автоморфизмы тогда и только тогда, когда $X$ представляет собой разветвленный покров $X\to \mathbf {P} ^{1}$ с тремя точками ветвления индексов 2 , 3 и 7 .

Идея еще одного доказательства и построения поверхностей Гурвица.

По теореме униформизации любая гиперболическая поверхность X – т. е. кривизна X гауссова равна отрицательной единице в каждой точке – покрывается гиперболической плоскостью . Конформные отображения поверхности соответствуют сохраняющим ориентацию автоморфизмам гиперболической плоскости. По теореме Гаусса–Бонне площадь поверхности равна

А( Икс ) = - 2π х( Икс ) = 4π( г - 1).

Чтобы сделать группу G автоморфизмов X как можно большей, мы хотим , чтобы площадь ее фундаментальной области D для этого действия была как можно меньшей. Если фундаментальная область представляет собой треугольник с углами при вершине π/p, π/q и π/r, определяющими мозаику гиперболической плоскости, то p , q и r — целые числа, большие единицы, а площадь равна

А( D ) знак равно π(1 - 1/ п - 1/ q - 1/ р ).

Таким образом, мы запрашиваем целые числа, которые составляют выражение

1 - 1/ п - 1/ q - 1/ р

строго положительное и минимально возможное. Это минимальное значение составляет 1/42, и

1 − 1/2 − 1/3 − 1/7 = 1/42

дает уникальную тройку таких целых чисел. Это будет означать, что порядок | г | группы автоморфизмов ограничена

А( Икс )/А( D ) ≤ 168( г - 1).

Однако более тонкие рассуждения показывают, что это завышение в два раза, поскольку группа G может содержать преобразования, меняющие ориентацию. Для сохраняющих ориентацию конформных автоморфизмов оценка равна 84( g − 1).

Строительство

Чтобы получить пример группы Гурвица, начнем с (2,3,7)-разбиения гиперболической плоскости. Его полная группа симметрии - это полная (2,3,7) группа треугольников , порожденная отражениями от сторон одного фундаментального треугольника с углами π/2, π/3 и π/7. Поскольку отражение переворачивает треугольник и меняет ориентацию, мы можем соединить треугольники попарно и получить мозаику, сохраняющую ориентацию.Поверхность Гурвица получается «замыканием» части этого бесконечного разбиения гиперболической плоскости на компактную риманову поверхность рода g . Для этого обязательно потребуется ровно 84 ( g − 1) плиток с двойными треугольниками.

Следующие два регулярных мозаики имеют нужную группу симметрии; группа вращения соответствует вращению вокруг ребра, вершины и грани, тогда как группа полной симметрии также включает отражение. Многоугольники в мозаике не являются фундаментальными областями — мозаика треугольниками (2,3,7) уточняет оба из них и не является регулярной.

Семиугольная мозаика третьего порядка	Треугольная мозаика порядка 7

Конструкции Витгофа дают дополнительные однородные мозаики , в результате чего получается восемь однородных мозаик , включая две приведенные здесь правильные. Все они спускаются к поверхностям Гурвица, давая замощение поверхностей (триангуляция, замощение семиугольниками и т. д.).

Из приведенных выше рассуждений можно сделать вывод, что группа Гурвица G характеризуется тем свойством, что она является конечным факторгруппой группы с двумя образующими a и b и тремя соотношениями

a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,

таким образом, G — конечная группа, порожденная двумя элементами второго и третьего порядков, произведение которых имеет седьмой порядок. Точнее, любая поверхность Гурвица, т. е. гиперболическая поверхность, реализующая максимальный порядок группы автоморфизмов для поверхностей данного рода, может быть получена по приведенной конструкции. Это последняя часть теоремы Гурвица.

Примеры групп и поверхностей Гурвица

Наименьшая группа Гурвица — это проективная специальная линейная группа PSL(2,7) порядка 168, а соответствующая кривая — это кривая квартики Клейна . Эта группа также изоморфна PSL(3,2) .

Далее идет кривая Макбита с группой автоморфизмов PSL(2,8) порядка 504. Многие другие конечные простые группы являются группами Гурвица; например, все знакопеременные группы, кроме 64, являются группами Гурвица, причем самый крупный не-гурвицев пример имеет степень 167. Наименьшая знакопеременная группа, являющаяся группой Гурвица, — это A ₁₅ .

Большинство проективных специальных линейных групп большого ранга являются группами Гурвица ( Lucchini, Tamburini & Wilson 2000 ). Для более низких рангов таких групп Гурвица меньше. Для n _p порядка p по модулю 7 PSL(2, q ) является гурвицевым тогда и только тогда, когда либо q =7, либо q = p ^{n_{например}}. Действительно, PSL(3, q ) является гурвицем тогда и только тогда, когда q = 2, PSL(4, q ) никогда не является гурвицем, а PSL(5, q ) гурвицем тогда и только тогда, когда q = 7. ⁴ или q = p ^{n_{например}}, ( Tamburini & Vsemirnov 2006 ).

Аналогично многие группы лиева типа являются гурвицевыми. Конечные классические группы большого ранга — это Гурвиц ( Lucchini & Tamburini 1999 ). Исключительные группы Ли типа G2 и группы Ри типа 2G2 почти всегда являются гурвицевыми ( Malle 1990 ). Другие семейства исключительных и скрученных групп Ли низкого ранга — это Гурвиц ( Malle 1995 ).

Существует 12 спорадических групп , которые могут быть порождены как группы Гурвица: группы Янко J ₁ , J ₂ и J ₄ , группы Фишера Fi ₂₂ и Fi' ₂₄ , группа Рудвалиса , группа Хелда , группа Томпсона , группа Харады– Группа Нортона , третья группа Конвея Co ₃ , группа Лайона и Монстр ( Wilson 2001 ).

Группы автоморфизмов низкого рода

Самый большой |Aut( X )| можно получить для римановой поверхности X рода g , показанной ниже для 2≤ ≤10 , вместе с поверхностью X0 _с |Aut( X0 _g )| максимальный.

пол г	Максимально возможный \|Aut( X )\|	х ₀	Или ( Х ₀ )
2	48	Кривая Больца	ГЛ ₂ (3)
3	168 (направление в Гурвиц)	Клейн квартик	ПСЛ ₂ (7)
4	120	Привести кривую	С ₅
5	192	Модульная кривая X (8)	ПСЛ ₂ (З/8З)
6	150	Кривая Ферма F ₅	( С ₅ х С ₅ ): С ₃
7	504 (направление на Гурвиц)	Кривая Макбета	ПСЛ ₂ (8)
8	336
9	320
10	432
11	240

В этом диапазоне существует только кривая Гурвица рода g =3 и g =7.

Обобщения

Понятие поверхности Гурвица можно обобщить несколькими способами до определения, которое имеет примеры во всех родах, за исключением нескольких. Возможно, наиболее естественной является «максимально симметричная» поверхность: поверхность, которую нельзя непрерывно модифицировать с помощью одинаково симметричных поверхностей до поверхности, симметрия которой правильно содержит симметрию исходной поверхности. Это возможно для всех ориентируемых компактных родов (см. выше раздел «Группы автоморфизмов низкого рода»).

См. также

(2,3,7) группа треугольников

Примечания

^ Технически говоря, существует эквивалентность категорий между категорией компактных римановых поверхностей с сохраняющими ориентацию конформными отображениями и категорией неособых комплексных проективных алгебраических кривых с алгебраическими морфизмами.
^ ( Рихтер ) Обратите внимание, что каждая грань в многограннике состоит из нескольких граней в мозаике — две треугольные грани составляют квадратную грань и так далее, как показано на этом поясняющем изображении .

Ссылки

Гурвиц, А. (1893), «Об алгебраических сущностях с уникальными преобразованиями сами по себе», Mathematical Annals , 41 (3): 403–442, doi : 10.1007/BF01443420 , JFM 24.0380.02 .
Луккини, А.; Тамбурини, MC (1999), «Классические группы большого ранга как группы Гурвица», Journal of Algebra , 219 (2): 531–546, doi : 10.1006/jabr.1999.7911 , ISSN 0021-8693 , MR 1706821
Луккини, А.; Тамбурини, MC; Уилсон, Дж. С. (2000), «Группы Гурвица большого ранга», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 61 (1): 81–92, doi : 10.1112/S0024610799008467 , ISSN 0024-6107 , MR 1745399
Малле, Гюнтер (1990), «Группы Гурвица и G2(q)», Canadian Mathematical Bulletin , 33 (3): 349–357, doi : 10.4153/CMB-1990-059-8 , ISSN 0008-4395 , MR 1077110
Малле, Гюнтер (1995), «Исключительные группы Гурвица малого ранга», Группы лиева типа и их геометрия (Комо, 1993) , London Math. Соц. Лекции. Сер., вып. 207, Издательство Кембриджского университета , стр. 173–183, MR 1320522.
Тамбурини, MC; Всемирнов, М. (2006), «Неприводимые (2,3,7)-подгруппы PGL(n,F) для n ≤ 7», Journal of Algebra , 300 (1): 339–362, doi : 10.1016/j .jalgebra.2006.02.030 , ISSN 0021-8693 , MR 2228652
Уилсон, Р.А. (2001), «Монстр - это группа Гурвица» , Журнал теории групп , 4 (4): 367–374, номер документа : 10.1515/jgth.2001.027 , MR 1859175 , заархивировано из оригинала 03.03.2012 г. 05 , получено 4 сентября 2015 г.
Рихтер, Дэвид А., Как сделать группу Матье M ₂₄ , получено 15 апреля 2010 г.

[1] Технически говоря, существует эквивалентность категорий между категорией компактных римановых поверхностей с сохраняющими ориентацию конформными отображениями и категорией неособых комплексных проективных алгебраических кривых с алгебраическими морфизмами.

[2] ( Рихтер ) Обратите внимание, что каждая грань в многограннике состоит из нескольких граней в мозаике — две треугольные грани составляют квадратную грань и так далее, как показано на этом поясняющем изображении .

[1]

[2]