Семиугольная плитка

Семиугольная плитка
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая регулярная мозаика
Конфигурация вершин	7 ³
Символ Шлефли	{7,3}
Символ Витхоффа	3 \| 7 2
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	[7,3], (*732)
Двойной	Треугольная плитка порядка 7
Характеристики	Вершинно-транзитивный , ребро-транзитивный , грани-транзитивный

В геометрии семиугольная мозаика — это правильная мозаика гиперболической плоскости . Он представлен символом Шлефли {7,3}, имеющим три правильных семиугольника вокруг каждой вершины.

Изображения

Модель полуплоскости Пуанкаре	Модель диска Пуанкаре	Модель Бельтрами-Клейна

Связанные многогранники и мозаики

Это разбиение топологически связано как часть последовательности правильных многогранников с символом Шлефли {n,3}.

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,3} v т и
Spherical				Euclidean	Compact hyperb.		Paraco.	Noncompact hyperbolic

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Из конструкции Витгофа есть восемь гиперболических однородных мозаик , которые могут быть основаны на регулярной семиугольной мозаике.

Если нарисовать плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета по исходным краям, получится 8 форм.

Однородные семиугольные/треугольные мозаики v т и
Symmetry: $[7,3], (*732)$							$[7,3] +, (732)$


${7,3}$	$t{7,3}$	$r{7,3}$	$t{3,7}$	${3,7}$	$rr{7,3}$	$tr{7,3}$	$sr{7,3}$
Uniform duals


$V7 3$	$V3.14.14$	$V3.7.3.7$	$V6.6.7$	$V3 7$	$V3.4.7.4$	$V4.6.14$	$V3.3.3.3.7$

Поверхности Гурвица

Группа симметрии мозаики — это группа треугольников (2,3,7) , а фундаментальной областью для этого действия является (2,3,7) треугольник Шварца . Это наименьший гиперболический треугольник Шварца, и, таким образом, согласно доказательству теоремы Гурвица об автоморфизмах , замощение - это универсальное замощение, которое покрывает все поверхности Гурвица ( римановы поверхности с максимальной группой симметрии), давая им замощение семиугольниками, группа симметрии которых равна их группа автоморфизмов как римановы поверхности. Наименьшая поверхность Гурвица — это квартика Клейна (род 3, группа автоморфизмов порядка 168), а индуцированная мозаика имеет 24 семиугольника, пересекающихся в 56 вершинах.

Двойственное треугольное замощение порядка 7 имеет ту же группу симметрии и, таким образом, дает триангуляции поверхностей Гурвица.

См. также

Ссылки

Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
«Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .

Внешние ссылки