(2,3,7) группа треугольников

В теории римановых поверхностей и гиперболической геометрии группа треугольников (2,3,7) особенно важна из-за ее связи с поверхностями Гурвица , а именно с римановыми поверхностями рода g с максимально возможным порядком 84( g − 1) ее группа автоморфизмов.

Термин «группа треугольников (2,3,7)» чаще всего относится не к полной группе треугольников Δ(2,3,7) (группе Кокстера с треугольником Шварца (2,3,7) или к реализации в виде гиперболической группа отражения ), а скорее к обычной треугольной группе ( группа фон Дейка ) D (2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений (группа вращения), которая имеет индекс 2.

Нормальные подгруппы без кручения в треугольной группе (2,3,7) — это фуксовы группы , связанные с поверхностями Гурвица , такие как квартика Клейна , поверхность Макбита и первая тройка Гурвица .

Конструкции

Гиперболическая конструкция

Группа треугольников (2,3,7) — это группа сохраняющих ориентацию изометрий мозаики треугольником Шварца (2,3,7) , показанной здесь в проекции модели диска Пуанкаре .

Чтобы построить группу треугольников, начните с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3 и π/7. Этот треугольник, наименьший гиперболический треугольник Шварца , покрывает плоскость отражениями в его сторонах. Рассмотрим затем группу, порожденную отражениями на сторонах треугольника, которая (поскольку треугольные плитки) является неевклидовой кристаллографической группой (дискретной подгруппой гиперболических изометрий) с этим треугольником в качестве фундаментальной области ; Соответствующая мозаика представляет собой разделенную пополам семиугольную мозаику третьего порядка . Группа треугольников (2,3,7) определяется как подгруппы индекса 2, состоящие из изометрий, сохраняющих ориентацию, которые являются фуксовой группой (группой NEC, сохраняющей ориентацию).

showОднородные семиугольные/треугольные мозаики
Symmetry: [7,3], (*732)							[7,3]+, (732)
{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
Uniform duals
V73	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V37	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Групповая презентация

Он имеет представление в виде пары образующих g ₂ , g ₃ по модулю следующих соотношений:

$g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=1.$

Геометрически это соответствует вращению на ${\frac {2\pi }{2}},{\frac {2\pi }{3}}$, и ${\frac {2\pi }{7}}$ о вершинах треугольника Шварца.

Кватернионная алгебра

Группа треугольников (2,3,7) допускает представление в терминах группы кватернионов нормы 1 в подходящем порядке в алгебре кватернионов . Более конкретно, группа треугольников представляет собой частное группы кватернионов по ее центру ±1.

Пусть η = 2cos(2π/7). Тогда из тождества

$(2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.$

мы видим, что Q (η) — вполне вещественное кубическое расширение Q . (2,3,7) Группа гиперболических треугольников является подгруппой группы элементов нормы 1 в алгебре кватернионов, порожденной как ассоциативная алгебра парой генераторов i , j и отношениями i ² = j ² знак равно η , ij знак равно - джи . Выбирается подходящий порядок кватернионов Гурвица. ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ в алгебре кватернионов. Здесь порядок ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ генерируется элементами

$g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij$

$g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).$

Фактически порядок представляет собой свободный Z [η]-модуль над базисом $1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}$. Здесь образующие удовлетворяют соотношениям

$g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,\,$

которые спускаются к соответствующим отношениям в группе треугольников после факторизации по центру.

Связь с SL(2,R)

Визуализация карты (2,3,∞) → (2,3,7) путем морфинга связанных мозаик.

Расширяя скаляры из Q (η) на R (посредством стандартного вложения), получаем изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M(2, R ) вещественных матриц размера 2 на 2. Выбор конкретного изоморфизма позволяет представить группу треугольников (2,3,7) как конкретную фуксову группу в SL(2, R ) , в частности, как фактор модулярной группы . Это можно визуализировать с помощью соответствующих мозаик, как показано справа: мозаика (2,3,7) на диске Пуанкаре представляет собой частное модульной мозаики в верхней полуплоскости.

Для многих целей явные изоморфизмы не нужны. Таким образом, следы групповых элементов (а значит, и длины трансляций гиперболических элементов, действующих в верхней полуплоскости , а также систолы фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью приведенного следа в алгебре кватернионов, и формулы

$\operatorname {tr} (\gamma )=2\cosh(\ell _{\gamma }/2).$

Дальнейшее чтение

• Элкис, Северная Дакота (1998). «Расчеты кривой Шимуры». В Бюлере, JP (ред.). Алгоритмическая теория чисел. МУРАВЬИ 1998 . Конспекты лекций по информатике. Том. 1423. Спрингер. стр. 1–47. arXiv : math.NT/0005160 . дои : 10.1007/BFb0054850 . ISBN  978-3-540-69113-6 .
• Кац, М.; Шапс, М.; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль конгруэнтных подгрупп». Дж. Дифференциальная геометрия. 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 .