Порядок кватернионов Гурвица

Порядок кватернионов Гурвица — это особый порядок в алгебре кватернионов над подходящим числовым полем . Порядок имеет особое значение в теории римановых поверхностей в связи с поверхностями с максимальной симметрией , а именно с поверхностями Гурвица . Порядок кватернионов Гурвица был изучен в 1967 году Горо Шимурой . но впервые подробно описан Ноамом Элкисом в 1998 году. Альтернативное использование этого термина см. в «кватернионе Гурвица» (оба значения используются в литературе).

Определение

Позволять $K$ — максимальное вещественное подполе $\mathbb {Q}$$(\rho )$ где $\rho$ является корнем седьмой примитивной степени из единицы . Кольцо целых чисел $K$ является $\mathbb {Z} [\eta ]$, где элемент $\eta =\rho +{\bar {\rho }}$ можно отождествить с положительным реальным $2\cos({\tfrac {2\pi }{7}})$. Позволять $D$ быть алгеброй кватернионов или алгеброй символов

$D:=\,(\eta ,\eta )_{K},$

так что $i^{2}=j^{2}=\eta$ и $ij=-ji$ в $D.$ Также пусть $\tau =1+\eta +\eta ^{2}$ и $j'={\tfrac {1}{2}}(1+\eta i+\tau j)$. Позволять

${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }=\mathbb {Z} [\eta ][i,j,j'].$

Затем ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ максимальным порядком является $D$, подробно описанный Ноамом Элкисом .

Структура модуля

Порядок $Q_{\mathrm {Hur} }$ также генерируется элементами

$g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij$

и

$g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).$

Фактически заказ бесплатный. $\mathbb {Z} [\eta ]$-модуль надоснова $\,1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}$. Здесь образующие удовлетворяют соотношениям

$g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,$

которые спускаются к соответствующим отношениям в группе треугольников (2,3,7) после факторизации по центру.

Основные подгруппы конгруэнтности

Главная конгруэнтная подгруппа, определяемая идеалом $I\subset \mathbb {Z} [\eta ]$ по определению является группой

${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}(I)=\{x\in {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}:x\equiv 1($против $I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} })\},$

а именно, группа элементов приведенной нормы 1 в ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ эквивалентно 1 по модулю идеального $I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$. Соответствующая фуксова группа получается как образ главной конгруэнцной подгруппы при представлении в P SL(2,R) .

Приложение

Орден использовали Кац, Шапс и Вишне. построить семейство поверхностей Гурвица, удовлетворяющих асимптотической нижней оценке систолы: $sys>{\frac {4}{3}}\log g$ где g — род, улучшающий более ранний результат Питера Бузера и Питера Сарнака ; см. систолы поверхностей .

См. также

• (2,3,7) группа треугольников
• Клейн квартик
• Поверхность Макбета
• Первая тройка Гурвица