Поверхность Макбета

В римановых поверхностей теории и гиперболической геометрии поверхность Макбита , также называемая кривой Макбита или кривой Фрике-Макбита рода 7 , является поверхностью Гурвица .

Группа автоморфизмов поверхности Макбита — это простая группа PSL(2,8) , состоящая из 504 симметрий.

Построение группы треугольников

поверхности Фуксову группу можно построить как главную подгруппу конгруэнции группы треугольников (2,3,7) в подходящей башне главных подгрупп конгруэнции. Здесь выбор алгебры кватернионов и порядка кватернионов Гурвица описан на странице группы треугольников. Выбор идеала $\langle 2\rangle$ в кольце целых чисел эту поверхность рода 7 определяет соответствующая главная конгруэнтная подгруппа. Ее систола около 5,796, а число систолических петель по расчетам Р. Фогелера — 126.

Полученную триангулированную поверхность можно реализовать как невыпуклый многогранник без самопересечений.

Историческая справка

Эта поверхность была первоначально открыта Робертом Фрике ( 1899 г. ), но названа в честь Александра Мюррея Макбита из-за его более позднего независимого повторного открытия той же кривой. Элкис пишет, что эквивалентность между кривыми, изученными Фрике и Макбитом, «возможно, впервые была замечена Серром в письме Абхьянкару от 24 июля 1990 года ».

См. также

• Клейн квартик
• Первая тройка Гурвица

Ссылки

• Берри, Кевин; Треткофф, Марвин (1992), «Матрица периодов кривой Макбита седьмого рода», Кривые, якобианы и абелевы разновидности, Амхерст, Массачусетс, 1990 , Провиденс, Род-Айленд: Contemp. Матем., 136, амер. Математика. Soc., стр. 31–40, doi : 10.1090/conm/136/1188192 , MR   1188192 .
• Боковски, Юрген; Кунц, Майкл (2018), «Регулярное отображение Гурвица (3,7) рода 7: многогранная реализация», Искусство дискретной и прикладной математики , 1 (1), статья № 1.02, номер документа : 10.26493/2590-9770.1186 .258 , МР   3995533 .
• Буяланс, Эмилио; Коста, Антонио Ф. (1994), «Исследование симметрии поверхности Макбита», Математический вклад , Мадрид: Editorial Complutense, стр. 375–385, MR   1303808 .
• Элкис, Н.Д. (1998), «Вычисления кривой Шимуры», в Бюлере, Джо П. (редактор), Алгоритмическая теория чисел: Третий международный симпозиум, ANTS-III , Конспекты лекций по информатике, том. 1423, Springer-Verlag, Конспекты лекций по информатике 1423, стр. 1–47, arXiv : math.NT/0005160 , doi : 10.1007/BFb0054849 , ISBN  3-540-64657-4 .
• Фрике, Р. (1899), «О простой группе из 504 операций» , Mathematical Annals , 52 (2–3): 321–339, doi : 10.1007/BF01476163 , S2CID   122400481 .
• Гофман Р. (1989), “Точки Вейерштрасса на кривой Макбита”, Вестник Моск. унив. Сер. В Мэтт. Мех. , 104 (5): 31–33, МР   1029778 . Перевод Московского ун-та. Математика. Бык. 44 (1989), вып. 5, 37–40.
• Макбит, А. (1965), «О кривой рода 7», Proceedings of the London Mathematical Society , 15 : 527–542, doi : 10.1112/plms/s3-15.1.527 .
• Фогелер, Р. (2003), «О геометрии поверхностей Гурвица», диссертация Университета штата Флорида .
• Вольфарт, К. (1985), «Кривая Макбита и модульная группа», Glasgow Math. J. , 27 : 239–247, doi : 10.1017/S0017089500006212 , MR   0819842 . Исправление, том. 28, нет. 2, 1986, с. 241, МР 0848433 .