Первая тройка Гурвица

В математической теории римановых поверхностей первая тройка Гурвица представляет собой тройку различных поверхностей Гурвица с одинаковой группой автоморфизмов наименьшего возможного рода, а именно 14 (каждый из родов 3 и 7 допускает уникальную поверхность Гурвица, соответственно квартику Клейна и квартику Клейна). поверхность Макбита ). Объяснение этому явлению — арифметическое. А именно, в кольце целых чисел соответствующего числового поля рациональное простое число 13 распадается как произведение трех различных простых идеалов. Главные конгруэнтные подгруппы, определенные тройкой простых чисел, образуют фуксовы группы, соответствующие тройке римановых поверхностей.

Арифметическая конструкция

Позволять $K$ быть реальным подполем $\mathbb {Q} [\rho ]$ где $\rho$ является корнем седьмой примитивной степени из единицы . Кольцо целых K чисел есть $\mathbb {Z} [\eta ]$, где $\eta =2\cos({\tfrac {2\pi }{7}})$. Позволять $D$ быть алгеброй кватернионов или алгеброй символов $(\eta ,\eta )_{K}$. Также пусть $\tau =1+\eta +\eta ^{2}$ и $j'={\tfrac {1}{2}}(1+\eta i+\tau j)$. Позволять ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }=\mathbb {Z} [\eta ][i,j,j']$. Затем ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ максимальным порядком является $D$ (см. порядок кватернионов Гурвица ), подробно описанный Ноамом Элкисом [1].

Чтобы построить первую тройку Гурвица, рассмотрим простое разложение числа 13 на $\mathbb {Z} [\eta ]$, а именно

$13=\eta (\eta +2)(2\eta -1)(3-2\eta )(\eta +3),$

где $\eta (\eta +2)$ является обратимым. Также рассмотрим простые идеалы, порожденные необратимыми факторами. Главной конгруэнтной подгруппой, определяемой таким простым идеалом I, по определению является группа

${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}(I)=\{x\in {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}:x\equiv 1{\pmod {I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}}\},$

а именно, группа элементов приведенной нормы 1 в ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ эквивалентно 1 по модулю идеального $I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {H} ur}$. Соответствующая фуксова группа получается как образ главной конгруэнцной подгруппы при представлении в P SL(2,R) .

Каждая из трех римановых поверхностей в первом триплете Гурвица может быть сформирована как фуксова модель , фактор гиперболической плоскости по одной из этих трех фуксовых групп.

Связано с систолической длиной и систолическим соотношением

Теорема Гаусса – Бонне утверждает, что

$\chi (\Sigma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }K(u)\,dA,$

где $\chi (\Sigma )$ – эйлерова характеристика поверхности и $K(u)$ есть гауссова кривизна . В случае $g=14$ у нас есть

$\chi (\Sigma )=-26$ и $K(u)=-1,$

таким образом, мы получаем, что площадь этих поверхностей равна

$52\pi$.

Нижняя граница систолы , указанная в [2], а именно

${\frac {4}{3}}\log(g(\Sigma )),$

составляет 3,5187.

Некоторые конкретные подробности о каждой из поверхностей представлены в следующих таблицах (число систолических петель взято из [3]). Термин «систолический след» относится к наименее уменьшенному следу элемента в соответствующей подгруппе. ${\mathcal {Q}}_{Hur}^{1}(I)$. Систолическое соотношение – это отношение площади систолы к площади.

Идеально	$3-2\eta \vartriangleleft O_{K}$
Систола	5.9039
Систолическая кривая	$-4\eta ^{2}-8\eta -3$
Систолическое соотношение	0.2133
Количество систолических петель	91

Идеально	$\eta +3\vartriangleleft O_{K}$
Систола	6.3933
Систолическая кривая	$5\eta ^{2}+11\eta +3$
Систолическое соотношение	0.2502
Количество систолических петель	78

Идеально	$2\eta -1\vartriangleleft O_{K}$
Систола	6.8879
Систолическая кривая	$-7\eta ^{2}-14\eta -3$
Систолическое соотношение	0.2904
Количество систолических петель	364

См. также

• (2,3,7) группа треугольников

Ссылки

• Элкис, Н. (1999). Квартика Клейна в теории чисел. Восьмеричный путь . Математика. наук. Рез. Инст. Опубл. Том. 35. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. стр. 51–101.
• Кац, М.; Шапс, М.; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль конгруэнтных подгрупп». Дж. Дифференциальная геометрия . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . дои : 10.4310/jdg/1180135693 . S2CID   18152345 .
• Фогелер, Р. (2003). К геометрии поверхностей Гурвица (Диссертация). Государственный университет Флориды.